Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56635 / 87976
↖ ↑ ↗
← S 52.335339°
W 24.447326°		 ← 186.59 m → S 52.335339°
W 24.444580°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
S 52.337017°
W 24.447326°		 ← 186.58 m →
34 818 m²		 S 52.337017°
W 24.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432094573974609 y=0.671207427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432094573974609 × 217)
    floor (0.432094573974609 × 131072)
    floor (56635.5)     		tx = 56635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671207427978516 × 217)
    floor (0.671207427978516 × 131072)
    floor (87976.5)     		ty = 87976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56635 / 87976 ti = "17/56635/87976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56635/87976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56635 ÷ 217
    56635 ÷ 131072     		x = 0.432090759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87976 ÷ 217
    87976 ÷ 131072     		y = 0.67120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432090759277344 × 2 - 1) × π
    -0.135818481445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42668634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.3424072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07570402747406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42668634} λ = -0.42668634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07570402747406))-π/2
    2×atan(0.341057556867496)-π/2
    2×0.32868617243079-π/2
    0.65737234486158-1.57079632675     		φ = -0.91342398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42668634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.447326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91342398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.335339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56635 KachelY 87976 -0.42668634 -0.91342398 -24.447326 -52.335339
    Oben rechts KachelX + 1 56636 KachelY 87976 -0.42663841 -0.91342398 -24.444580 -52.335339
    Unten links KachelX 56635 KachelY + 1 87977 -0.42668634 -0.91345327 -24.447326 -52.337017
    Unten rechts KachelX + 1 56636 KachelY + 1 87977 -0.42663841 -0.91345327 -24.444580 -52.337017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91342398--0.91345327) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dl = 186.606589999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91342398--0.91345327) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dr = 186.606589999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42668634--0.42663841) × cos(-0.91342398) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611038912092863 × 6371000     		do = 186.588082605566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42668634--0.42663841) × cos(-0.91345327) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611015725850333 × 6371000     		du = 186.581002407479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91342398)-sin(-0.91345327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611038912092863-0.611015725850333)×R²
    abs(-0.42663841--0.42668634)×2.31862425298379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31862425298379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31862425298379e-05×40589641000000     		ar = 34817.9052263463m²