Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5661 / 3603
↖ ↑ ↗
← N 21.166484°
E 68.774414°		 ← 4 556.83 m → N 21.166484°
E 68.818360°		 →
↑
4 557.43 m
↓
↑
4 557.43 m
↓
N 21.125498°
E 68.774414°		 ← 4 558.09 m →
20 770 299 m²		 N 21.125498°
E 68.818360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69110107421875 y=0.43988037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69110107421875 × 213)
    floor (0.69110107421875 × 8192)
    floor (5661.5)     		tx = 5661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43988037109375 × 213)
    floor (0.43988037109375 × 8192)
    floor (3603.5)     		ty = 3603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5661 / 3603 ti = "13/5661/3603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5661/3603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5661 ÷ 213
    5661 ÷ 8192     		x = 0.6910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3603 ÷ 213
    3603 ÷ 8192     		y = 0.4398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6910400390625 × 2 - 1) × π
    0.382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20033997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4398193359375 × 2 - 1) × π
    0.120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.378126264203003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20033997} λ = 1.20033997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378126264203003))-π/2
    2×atan(1.45954721980822)-π/2
    2×0.970110580590378-π/2
    1.94022116118076-1.57079632675     		φ = 0.36942483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20033997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36942483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.166484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5661 KachelY 3603 1.20033997 0.36942483 68.774414 21.166484
    Oben rechts KachelX + 1 5662 KachelY 3603 1.20110696 0.36942483 68.818360 21.166484
    Unten links KachelX 5661 KachelY + 1 3604 1.20033997 0.36870949 68.774414 21.125498
    Unten rechts KachelX + 1 5662 KachelY + 1 3604 1.20110696 0.36870949 68.818360 21.125498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36942483-0.36870949) × R
    0.000715340000000009 × 6371000     		dl = 4557.43114000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36942483-0.36870949) × R
    0.000715340000000009 × 6371000     		dr = 4557.43114000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20033997-1.20110696) × cos(0.36942483) × R
    0.000766990000000023 × 0.932535181726061 × 6371000     		do = 4556.82690819346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20033997-1.20110696) × cos(0.36870949) × R
    0.000766990000000023 × 0.932793237451247 × 6371000     		du = 4558.08789576303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36942483)-sin(0.36870949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932535181726061-0.932793237451247)×R²
    abs(1.20110696-1.20033997)×0.000258055725185891×R²
    0.000766990000000023×0.000258055725185891×6371000²
    0.000766990000000023×0.000258055725185891×40589641000000     		ar = 20770299.1686998m²