Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56604 / 90875
↖ ↑ ↗
← S 56.937483°
W 24.532471°		 ← 166.63 m → S 56.937483°
W 24.529724°		 →
↑
166.67 m
↓
↑
166.67 m
↓
S 56.938982°
W 24.532471°		 ← 166.62 m →
27 770 m²		 S 56.938982°
W 24.529724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431858062744141 y=0.693325042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431858062744141 × 217)
    floor (0.431858062744141 × 131072)
    floor (56604.5)     		tx = 56604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693325042724609 × 217)
    floor (0.693325042724609 × 131072)
    floor (90875.5)     		ty = 90875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56604 / 90875 ti = "17/56604/90875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56604/90875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56604 ÷ 217
    56604 ÷ 131072     		x = 0.431854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90875 ÷ 217
    90875 ÷ 131072     		y = 0.693321228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431854248046875 × 2 - 1) × π
    -0.13629150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42817239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693321228027344 × 2 - 1) × π
    -0.386642456054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.2146730994726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42817239} λ = -0.42817239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2146730994726))-π/2
    2×atan(0.296807024809732)-π/2
    2×0.288524891276474-π/2
    0.577049782552948-1.57079632675     		φ = -0.99374654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42817239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99374654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.937483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56604 KachelY 90875 -0.42817239 -0.99374654 -24.532471 -56.937483
    Oben rechts KachelX + 1 56605 KachelY 90875 -0.42812445 -0.99374654 -24.529724 -56.937483
    Unten links KachelX 56604 KachelY + 1 90876 -0.42817239 -0.99377270 -24.532471 -56.938982
    Unten rechts KachelX + 1 56605 KachelY + 1 90876 -0.42812445 -0.99377270 -24.529724 -56.938982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99374654--0.99377270) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dl = 166.665359999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99374654--0.99377270) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dr = 166.665359999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42817239--0.42812445) × cos(-0.99374654) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.54555381228417 × 6371000     		do = 166.626176826797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42817239--0.42812445) × cos(-0.99377270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545531888034705 × 6371000     		du = 166.619480596681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99374654)-sin(-0.99377270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54555381228417-0.545531888034705)×R²
    abs(-0.42812445--0.42817239)×2.19242494642335e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19242494642335e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19242494642335e-05×40589641000000     		ar = 27770.2537330674m²