Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56594 / 90886
↖ ↑ ↗
← S 56.953961°
W 24.559937°		 ← 166.55 m → S 56.953961°
W 24.557190°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
S 56.955459°
W 24.559937°		 ← 166.55 m →
27 737 m²		 S 56.955459°
W 24.557190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431781768798828 y=0.693408966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431781768798828 × 217)
    floor (0.431781768798828 × 131072)
    floor (56594.5)     		tx = 56594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693408966064453 × 217)
    floor (0.693408966064453 × 131072)
    floor (90886.5)     		ty = 90886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56594 / 90886 ti = "17/56594/90886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56594/90886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56594 ÷ 217
    56594 ÷ 131072     		x = 0.431777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90886 ÷ 217
    90886 ÷ 131072     		y = 0.693405151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431777954101562 × 2 - 1) × π
    -0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693405151367188 × 2 - 1) × π
    -0.386810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.21520040536842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42865176} λ = -0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21520040536842))-π/2
    2×atan(0.296650557972198)-π/2
    2×0.288381086186221-π/2
    0.576762172372442-1.57079632675     		φ = -0.99403415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99403415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.953961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56594 KachelY 90886 -0.42865176 -0.99403415 -24.559937 -56.953961
    Oben rechts KachelX + 1 56595 KachelY 90886 -0.42860382 -0.99403415 -24.557190 -56.953961
    Unten links KachelX 56594 KachelY + 1 90887 -0.42865176 -0.99406029 -24.559937 -56.955459
    Unten rechts KachelX + 1 56595 KachelY + 1 90887 -0.42860382 -0.99406029 -24.557190 -56.955459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99403415--0.99406029) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99403415--0.99406029) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42865176--0.42860382) × cos(-0.99403415) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.545312750744165 × 6371000     		do = 166.552550427363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42865176--0.42860382) × cos(-0.99406029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.545290839155949 × 6371000     		du = 166.545858064317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99403415)-sin(-0.99406029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545312750744165-0.545290839155949)×R²
    abs(-0.42860382--0.42865176)×2.19115882165166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19115882165166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19115882165166e-05×40589641000000     		ar = 27736.7613852296m²