Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56587 / 90887
↖ ↑ ↗
← S 56.955459°
W 24.579162°		 ← 166.51 m → S 56.955459°
W 24.576416°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
S 56.956957°
W 24.579162°		 ← 166.50 m →
27 730 m²		 S 56.956957°
W 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431728363037109 y=0.693416595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431728363037109 × 217)
    floor (0.431728363037109 × 131072)
    floor (56587.5)     		tx = 56587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693416595458984 × 217)
    floor (0.693416595458984 × 131072)
    floor (90887.5)     		ty = 90887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56587 / 90887 ti = "17/56587/90887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56587/90887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56587 ÷ 217
    56587 ÷ 131072     		x = 0.431724548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90887 ÷ 217
    90887 ÷ 131072     		y = 0.693412780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431724548339844 × 2 - 1) × π
    -0.136550903320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42898731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693412780761719 × 2 - 1) × π
    -0.386825561523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.21524834226804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42898731} λ = -0.42898731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21524834226804))-π/2
    2×atan(0.296636337805016)-π/2
    2×0.288368016147608-π/2
    0.576736032295216-1.57079632675     		φ = -0.99406029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42898731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.579162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99406029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.955459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56587 KachelY 90887 -0.42898731 -0.99406029 -24.579162 -56.955459
    Oben rechts KachelX + 1 56588 KachelY 90887 -0.42893938 -0.99406029 -24.576416 -56.955459
    Unten links KachelX 56587 KachelY + 1 90888 -0.42898731 -0.99408643 -24.579162 -56.956957
    Unten rechts KachelX + 1 56588 KachelY + 1 90888 -0.42893938 -0.99408643 -24.576416 -56.956957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99406029--0.99408643) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99406029--0.99408643) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42898731--0.42893938) × cos(-0.99406029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.545290839155949 × 6371000     		do = 166.511117585166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42898731--0.42893938) × cos(-0.99408643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.545268927195135 × 6371000     		du = 166.504426504331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99406029)-sin(-0.99408643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545290839155949-0.545268927195135)×R²
    abs(-0.42893938--0.42898731)×2.19119608135809e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19119608135809e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19119608135809e-05×40589641000000     		ar = 27729.861351943m²