Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56583 / 90891
↖ ↑ ↗
← S 56.961449°
W 24.590149°		 ← 166.48 m → S 56.961449°
W 24.587403°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
S 56.962947°
W 24.590149°		 ← 166.48 m →
27 725 m²		 S 56.962947°
W 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431697845458984 y=0.693447113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431697845458984 × 217)
    floor (0.431697845458984 × 131072)
    floor (56583.5)     		tx = 56583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693447113037109 × 217)
    floor (0.693447113037109 × 131072)
    floor (90891.5)     		ty = 90891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56583 / 90891 ti = "17/56583/90891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56583/90891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56583 ÷ 217
    56583 ÷ 131072     		x = 0.431694030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90891 ÷ 217
    90891 ÷ 131072     		y = 0.693443298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431694030761719 × 2 - 1) × π
    -0.136611938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42917906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693443298339844 × 2 - 1) × π
    -0.386886596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.21544008986652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42917906} λ = -0.42917906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21544008986652))-π/2
    2×atan(0.296579463952507)-π/2
    2×0.288315741244857-π/2
    0.576631482489715-1.57079632675     		φ = -0.99416484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42917906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.590149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99416484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.961449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56583 KachelY 90891 -0.42917906 -0.99416484 -24.590149 -56.961449
    Oben rechts KachelX + 1 56584 KachelY 90891 -0.42913113 -0.99416484 -24.587403 -56.961449
    Unten links KachelX 56583 KachelY + 1 90892 -0.42917906 -0.99419098 -24.590149 -56.962947
    Unten rechts KachelX + 1 56584 KachelY + 1 90892 -0.42913113 -0.99419098 -24.587403 -56.962947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99416484--0.99419098) × R
    2.61399999998968e-05 × 6371000     		dl = 166.537939999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99416484--0.99419098) × R
    2.61399999998968e-05 × 6371000     		dr = 166.537939999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42917906--0.42913113) × cos(-0.99416484) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.545203197460302 × 6371000     		do = 166.484355138878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42917906--0.42913113) × cos(-0.99419098) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.545181284009392 × 6371000     		du = 166.477663603024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99416484)-sin(-0.99419098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545203197460302-0.545181284009392)×R²
    abs(-0.42913113--0.42917906)×2.19134509092944e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19134509092944e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19134509092944e-05×40589641000000     		ar = 27725.404351142m²