Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56580 / 90908
↖ ↑ ↗
← S 56.986897°
W 24.598389°		 ← 166.37 m → S 56.986897°
W 24.595642°		 →
↑
166.41 m
↓
↑
166.41 m
↓
S 56.988394°
W 24.598389°		 ← 166.36 m →
27 685 m²		 S 56.988394°
W 24.595642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431674957275391 y=0.693576812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431674957275391 × 217)
    floor (0.431674957275391 × 131072)
    floor (56580.5)     		tx = 56580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693576812744141 × 217)
    floor (0.693576812744141 × 131072)
    floor (90908.5)     		ty = 90908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56580 / 90908 ti = "17/56580/90908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56580/90908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56580 ÷ 217
    56580 ÷ 131072     		x = 0.431671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90908 ÷ 217
    90908 ÷ 131072     		y = 0.693572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.38714599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.21625501716006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42932287} λ = -0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21625501716006))-π/2
    2×atan(0.296337871706056)-π/2
    2×0.288093666635086-π/2
    0.576187333270173-1.57079632675     		φ = -0.99460899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99460899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.986897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56580 KachelY 90908 -0.42932287 -0.99460899 -24.598389 -56.986897
    Oben rechts KachelX + 1 56581 KachelY 90908 -0.42927494 -0.99460899 -24.595642 -56.986897
    Unten links KachelX 56580 KachelY + 1 90909 -0.42932287 -0.99463511 -24.598389 -56.988394
    Unten rechts KachelX + 1 56581 KachelY + 1 90909 -0.42927494 -0.99463511 -24.595642 -56.988394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99460899--0.99463511) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dl = 166.410520000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99460899--0.99463511) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dr = 166.410520000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(-0.99460899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.544830811007606 × 6371000     		do = 166.370642455931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(-0.99463511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.544808908000337 × 6371000     		du = 166.363954109168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99460899)-sin(-0.99463511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544830811007606-0.544808908000337)×R²
    abs(-0.42927494--0.42932287)×2.19030072691195e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19030072691195e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19030072691195e-05×40589641000000     		ar = 27685.2686197713m²