Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56580 / 90900
↖ ↑ ↗
← S 56.974924°
W 24.598389°		 ← 166.42 m → S 56.974924°
W 24.595642°		 →
↑
166.47 m
↓
↑
166.47 m
↓
S 56.976421°
W 24.598389°		 ← 166.42 m →
27 705 m²		 S 56.976421°
W 24.595642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431674957275391 y=0.693515777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431674957275391 × 217)
    floor (0.431674957275391 × 131072)
    floor (56580.5)     		tx = 56580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693515777587891 × 217)
    floor (0.693515777587891 × 131072)
    floor (90900.5)     		ty = 90900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56580 / 90900 ti = "17/56580/90900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56580/90900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56580 ÷ 217
    56580 ÷ 131072     		x = 0.431671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90900 ÷ 217
    90900 ÷ 131072     		y = 0.693511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.38702392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.2158715219631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42932287} λ = -0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2158715219631))-π/2
    2×atan(0.296451537650312)-π/2
    2×0.288198153432794-π/2
    0.576396306865589-1.57079632675     		φ = -0.99440002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99440002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.974924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56580 KachelY 90900 -0.42932287 -0.99440002 -24.598389 -56.974924
    Oben rechts KachelX + 1 56581 KachelY 90900 -0.42927494 -0.99440002 -24.595642 -56.974924
    Unten links KachelX 56580 KachelY + 1 90901 -0.42932287 -0.99442615 -24.598389 -56.976421
    Unten rechts KachelX + 1 56581 KachelY + 1 90901 -0.42927494 -0.99442615 -24.595642 -56.976421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99440002--0.99442615) × R
    2.61299999999576e-05 × 6371000     		dl = 166.47422999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99440002--0.99442615) × R
    2.61299999999576e-05 × 6371000     		dr = 166.47422999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(-0.99440002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.545006030067149 × 6371000     		do = 166.424147703648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(-0.99442615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.544984121649683 × 6371000     		du = 166.417457704816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99440002)-sin(-0.99442615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545006030067149-0.544984121649683)×R²
    abs(-0.42927494--0.42932287)×2.19084174661877e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19084174661877e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19084174661877e-05×40589641000000     		ar = 27704.7749876399m²