Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56577 / 90884
↖ ↑ ↗
← S 56.950966°
W 24.606628°		 ← 166.53 m → S 56.950966°
W 24.603882°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
S 56.952464°
W 24.606628°		 ← 166.52 m →
27 733 m²		 S 56.952464°
W 24.603882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431652069091797 y=0.693393707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431652069091797 × 217)
    floor (0.431652069091797 × 131072)
    floor (56577.5)     		tx = 56577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693393707275391 × 217)
    floor (0.693393707275391 × 131072)
    floor (90884.5)     		ty = 90884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56577 / 90884 ti = "17/56577/90884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56577/90884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56577 ÷ 217
    56577 ÷ 131072     		x = 0.431648254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90884 ÷ 217
    90884 ÷ 131072     		y = 0.693389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431648254394531 × 2 - 1) × π
    -0.136703491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.42946668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.38677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21510453156918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42946668} λ = -0.42946668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21510453156918))-π/2
    2×atan(0.296679000351655)-π/2
    2×0.288407227839042-π/2
    0.576814455678085-1.57079632675     		φ = -0.99398187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42946668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.606628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99398187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.950966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56577 KachelY 90884 -0.42946668 -0.99398187 -24.606628 -56.950966
    Oben rechts KachelX + 1 56578 KachelY 90884 -0.42941875 -0.99398187 -24.603882 -56.950966
    Unten links KachelX 56577 KachelY + 1 90885 -0.42946668 -0.99400801 -24.606628 -56.952464
    Unten rechts KachelX + 1 56578 KachelY + 1 90885 -0.42941875 -0.99400801 -24.603882 -56.952464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99398187--0.99400801) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99398187--0.99400801) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42946668--0.42941875) × cos(-0.99398187) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.545356572802748 × 6371000     		do = 166.531190144799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42946668--0.42941875) × cos(-0.99400801) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.54533466195977 × 6371000     		du = 166.524499405308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99398187)-sin(-0.99400801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545356572802748-0.54533466195977)×R²
    abs(-0.42941875--0.42946668)×2.1910842977646e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1910842977646e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1910842977646e-05×40589641000000     		ar = 27733.2042231717m²