Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56576 / 90881
↖ ↑ ↗
← S 56.946472°
W 24.609375°		 ← 166.59 m → S 56.946472°
W 24.606628°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
S 56.947970°
W 24.609375°		 ← 166.58 m →
27 742 m²		 S 56.947970°
W 24.606628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431644439697266 y=0.693370819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431644439697266 × 217)
    floor (0.431644439697266 × 131072)
    floor (56576.5)     		tx = 56576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693370819091797 × 217)
    floor (0.693370819091797 × 131072)
    floor (90881.5)     		ty = 90881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56576 / 90881 ti = "17/56576/90881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56576/90881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56576 ÷ 217
    56576 ÷ 131072     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90881 ÷ 217
    90881 ÷ 131072     		y = 0.693367004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693367004394531 × 2 - 1) × π
    -0.386734008789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.21496072087032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21496072087032))-π/2
    2×atan(0.296721669034066)-π/2
    2×0.288446444257446-π/2
    0.576892888514892-1.57079632675     		φ = -0.99390344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99390344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56576 KachelY 90881 -0.42951462 -0.99390344 -24.609375 -56.946472
    Oben rechts KachelX + 1 56577 KachelY 90881 -0.42946668 -0.99390344 -24.606628 -56.946472
    Unten links KachelX 56576 KachelY + 1 90882 -0.42951462 -0.99392958 -24.609375 -56.947970
    Unten rechts KachelX + 1 56577 KachelY + 1 90882 -0.42946668 -0.99392958 -24.606628 -56.947970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99390344--0.99392958) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99390344--0.99392958) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42946668) × cos(-0.99390344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545422311477383 × 6371000     		do = 166.586013095574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42946668) × cos(-0.99392958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545400401752518 × 6371000     		du = 166.579321301644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99390344)-sin(-0.99392958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545422311477383-0.545400401752518)×R²
    abs(-0.42946668--0.42951462)×2.19097248642663e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19097248642663e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19097248642663e-05×40589641000000     		ar = 27742.3342365515m²