Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56575 / 90882
↖ ↑ ↗
← S 56.947970°
W 24.612122°		 ← 166.58 m → S 56.947970°
W 24.609375°		 →
↑
166.60 m
↓
↑
166.60 m
↓
S 56.949468°
W 24.612122°		 ← 166.57 m →
27 752 m²		 S 56.949468°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431636810302734 y=0.693378448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431636810302734 × 217)
    floor (0.431636810302734 × 131072)
    floor (56575.5)     		tx = 56575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693378448486328 × 217)
    floor (0.693378448486328 × 131072)
    floor (90882.5)     		ty = 90882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56575 / 90882 ti = "17/56575/90882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56575/90882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56575 ÷ 217
    56575 ÷ 131072     		x = 0.431632995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90882 ÷ 217
    90882 ÷ 131072     		y = 0.693374633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431632995605469 × 2 - 1) × π
    -0.136734008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42956256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.386749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21500865776994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42956256} λ = -0.42956256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21500865776994))-π/2
    2×atan(0.296707445458122)-π/2
    2×0.288433371592739-π/2
    0.576866743185478-1.57079632675     		φ = -0.99392958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42956256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.612122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99392958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.947970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56575 KachelY 90882 -0.42956256 -0.99392958 -24.612122 -56.947970
    Oben rechts KachelX + 1 56576 KachelY 90882 -0.42951462 -0.99392958 -24.609375 -56.947970
    Unten links KachelX 56575 KachelY + 1 90883 -0.42956256 -0.99395573 -24.612122 -56.949468
    Unten rechts KachelX + 1 56576 KachelY + 1 90883 -0.42951462 -0.99395573 -24.609375 -56.949468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99392958--0.99395573) × R
    2.61500000000581e-05 × 6371000     		dl = 166.60165000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99392958--0.99395573) × R
    2.61500000000581e-05 × 6371000     		dr = 166.60165000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42956256--0.42951462) × cos(-0.99392958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.545400401752518 × 6371000     		do = 166.579321301451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42956256--0.42951462) × cos(-0.99395573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.545378483273083 × 6371000     		du = 166.57262683365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99392958)-sin(-0.99395573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545400401752518-0.545378483273083)×R²
    abs(-0.42951462--0.42956256)×2.19184794353344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19184794353344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19184794353344e-05×40589641000000     		ar = 27751.8321315689m²