Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56554 / 87964
↖ ↑ ↗
← S 52.315195°
W 24.669800°		 ← 186.67 m → S 52.315195°
W 24.667053°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
S 52.316874°
W 24.669800°		 ← 186.67 m →
34 846 m²		 S 52.316874°
W 24.667053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431476593017578 y=0.671115875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431476593017578 × 217)
    floor (0.431476593017578 × 131072)
    floor (56554.5)     		tx = 56554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671115875244141 × 217)
    floor (0.671115875244141 × 131072)
    floor (87964.5)     		ty = 87964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56554 / 87964 ti = "17/56554/87964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56554/87964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56554 ÷ 217
    56554 ÷ 131072     		x = 0.431472778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87964 ÷ 217
    87964 ÷ 131072     		y = 0.671112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431472778320312 × 2 - 1) × π
    -0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.34222412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07512878467862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43056923} λ = -0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07512878467862))-π/2
    2×atan(0.341253804209438)-π/2
    2×0.328861960313256-π/2
    0.657723920626513-1.57079632675     		φ = -0.91307241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91307241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.315195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56554 KachelY 87964 -0.43056923 -0.91307241 -24.669800 -52.315195
    Oben rechts KachelX + 1 56555 KachelY 87964 -0.43052130 -0.91307241 -24.667053 -52.315195
    Unten links KachelX 56554 KachelY + 1 87965 -0.43056923 -0.91310171 -24.669800 -52.316874
    Unten rechts KachelX + 1 56555 KachelY + 1 87965 -0.43052130 -0.91310171 -24.667053 -52.316874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91307241--0.91310171) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91307241--0.91310171) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43056923--0.43052130) × cos(-0.91307241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611317177333649 × 6371000     		do = 186.673054244587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43056923--0.43052130) × cos(-0.91310171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611293989470561 × 6371000     		du = 186.665973551643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91307241)-sin(-0.91310171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611317177333649-0.611293989470561)×R²
    abs(-0.43052130--0.43056923)×2.31878630881921e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31878630881921e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31878630881921e-05×40589641000000     		ar = 34845.6541627022m²