Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56505 / 87610
↖ ↑ ↗
← S 51.716820°
W 24.804382°		 ← 189.23 m → S 51.716820°
W 24.801636°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
S 51.718521°
W 24.804382°		 ← 189.22 m →
35 804 m²		 S 51.718521°
W 24.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431102752685547 y=0.668415069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431102752685547 × 217)
    floor (0.431102752685547 × 131072)
    floor (56505.5)     		tx = 56505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668415069580078 × 217)
    floor (0.668415069580078 × 131072)
    floor (87610.5)     		ty = 87610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56505 / 87610 ti = "17/56505/87610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56505/87610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56505 ÷ 217
    56505 ÷ 131072     		x = 0.431098937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87610 ÷ 217
    87610 ÷ 131072     		y = 0.668411254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431098937988281 × 2 - 1) × π
    -0.137802124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43291814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668411254882812 × 2 - 1) × π
    -0.336822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05815912221312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43291814} λ = -0.43291814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05815912221312))-π/2
    2×atan(0.347094180535918)-π/2
    2×0.334083774264592-π/2
    0.668167548529184-1.57079632675     		φ = -0.90262878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43291814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.804382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90262878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.716820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56505 KachelY 87610 -0.43291814 -0.90262878 -24.804382 -51.716820
    Oben rechts KachelX + 1 56506 KachelY 87610 -0.43287020 -0.90262878 -24.801636 -51.716820
    Unten links KachelX 56505 KachelY + 1 87611 -0.43291814 -0.90265848 -24.804382 -51.718521
    Unten rechts KachelX + 1 56506 KachelY + 1 87611 -0.43287020 -0.90265848 -24.801636 -51.718521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90262878--0.90265848) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90262878--0.90265848) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43291814--0.43287020) × cos(-0.90262878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619548628717122 × 6371000     		do = 189.226098392007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43291814--0.43287020) × cos(-0.90265848) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619525315183049 × 6371000     		du = 189.218977838611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90262878)-sin(-0.90265848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619548628717122-0.619525315183049)×R²
    abs(-0.43287020--0.43291814)×2.33135340728108e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33135340728108e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33135340728108e-05×40589641000000     		ar = 35804.4426756036m²