Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5650 / 3605
↖ ↑ ↗
← N 21.084500°
E 68.291016°		 ← 4 559.35 m → N 21.084500°
E 68.334961°		 →
↑
4 559.98 m
↓
↑
4 559.98 m
↓
N 21.043491°
E 68.291016°		 ← 4 560.60 m →
20 793 395 m²		 N 21.043491°
E 68.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68975830078125 y=0.44012451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68975830078125 × 213)
    floor (0.68975830078125 × 8192)
    floor (5650.5)     		tx = 5650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44012451171875 × 213)
    floor (0.44012451171875 × 8192)
    floor (3605.5)     		ty = 3605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5650 / 3605 ti = "13/5650/3605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5650/3605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5650 ÷ 213
    5650 ÷ 8192     		x = 0.689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3605 ÷ 213
    3605 ÷ 8192     		y = 0.4400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689697265625 × 2 - 1) × π
    0.37939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19190307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    0.119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376592283415161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19190307} λ = 1.19190307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376592283415161))-π/2
    2×atan(1.45731001876449)-π/2
    2×0.969395137189625-π/2
    1.93879027437925-1.57079632675     		φ = 0.36799395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19190307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36799395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.084500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5650 KachelY 3605 1.19190307 0.36799395 68.291016 21.084500
    Oben rechts KachelX + 1 5651 KachelY 3605 1.19267006 0.36799395 68.334961 21.084500
    Unten links KachelX 5650 KachelY + 1 3606 1.19190307 0.36727821 68.291016 21.043491
    Unten rechts KachelX + 1 5651 KachelY + 1 3606 1.19267006 0.36727821 68.334961 21.043491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36799395-0.36727821) × R
    0.00071574000000002 × 6371000     		dl = 4559.97954000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36799395-0.36727821) × R
    0.00071574000000002 × 6371000     		dr = 4559.97954000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19190307-1.19267006) × cos(0.36799395) × R
    0.000766990000000023 × 0.933050887804499 × 6371000     		do = 4559.34690248537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19190307-1.19267006) × cos(0.36727821) × R
    0.000766990000000023 × 0.933308132253376 × 6371000     		du = 4560.60392575869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36799395)-sin(0.36727821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933050887804499-0.933308132253376)×R²
    abs(1.19267006-1.19190307)×0.000257244448876426×R²
    0.000766990000000023×0.000257244448876426×6371000²
    0.000766990000000023×0.000257244448876426×40589641000000     		ar = 20793395.4789758m²