Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5649 / 3607
↖ ↑ ↗
← N 21.002471°
E 68.247070°		 ← 4 561.86 m → N 21.002471°
E 68.291016°		 →
↑
4 562.46 m
↓
↑
4 562.46 m
↓
N 20.961440°
E 68.247070°		 ← 4 563.11 m →
20 816 178 m²		 N 20.961440°
E 68.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68963623046875 y=0.44036865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68963623046875 × 213)
    floor (0.68963623046875 × 8192)
    floor (5649.5)     		tx = 5649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44036865234375 × 213)
    floor (0.44036865234375 × 8192)
    floor (3607.5)     		ty = 3607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5649 / 3607 ti = "13/5649/3607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5649/3607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5649 ÷ 213
    5649 ÷ 8192     		x = 0.6895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3607 ÷ 213
    3607 ÷ 8192     		y = 0.4403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19113608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4403076171875 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.375058302627319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19113608} λ = 1.19113608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.375058302627319))-π/2
    2×atan(1.45507624691335)-π/2
    2×0.968679298869109-π/2
    1.93735859773822-1.57079632675     		φ = 0.36656227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19113608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36656227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.002471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5649 KachelY 3607 1.19113608 0.36656227 68.247070 21.002471
    Oben rechts KachelX + 1 5650 KachelY 3607 1.19190307 0.36656227 68.291016 21.002471
    Unten links KachelX 5649 KachelY + 1 3608 1.19113608 0.36584614 68.247070 20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 5650 KachelY + 1 3608 1.19190307 0.36584614 68.291016 20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36656227-0.36584614) × R
    0.000716130000000037 × 6371000     		dl = 4562.46423000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36656227-0.36584614) × R
    0.000716130000000037 × 6371000     		dr = 4562.46423000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19113608-1.19190307) × cos(0.36656227) × R
    0.000766990000000023 × 0.933564970265346 × 6371000     		do = 4561.8589629808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19113608-1.19190307) × cos(0.36584614) × R
    0.000766990000000023 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 4563.11199406814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36656227)-sin(0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933564970265346-0.933821397730396)×R²
    abs(1.19190307-1.19113608)×0.00025642746505028×R²
    0.000766990000000023×0.00025642746505028×6371000²
    0.000766990000000023×0.00025642746505028×40589641000000     		ar = 20816177.6852808m²