Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56480 / 87712
↖ ↑ ↗
← S 51.890054°
W 24.873047°		 ← 188.46 m → S 51.890054°
W 24.870301°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
S 51.891749°
W 24.873047°		 ← 188.45 m →
35 516 m²		 S 51.891749°
W 24.870301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430912017822266 y=0.669193267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430912017822266 × 217)
    floor (0.430912017822266 × 131072)
    floor (56480.5)     		tx = 56480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669193267822266 × 217)
    floor (0.669193267822266 × 131072)
    floor (87712.5)     		ty = 87712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56480 / 87712 ti = "17/56480/87712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56480/87712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56480 ÷ 217
    56480 ÷ 131072     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87712 ÷ 217
    87712 ÷ 131072     		y = 0.669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.33837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06304868597437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06304868597437))-π/2
    2×atan(0.345401183789788)-π/2
    2×0.332572018303337-π/2
    0.665144036606673-1.57079632675     		φ = -0.90565229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90565229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.890054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56480 KachelY 87712 -0.43411656 -0.90565229 -24.873047 -51.890054
    Oben rechts KachelX + 1 56481 KachelY 87712 -0.43406863 -0.90565229 -24.870301 -51.890054
    Unten links KachelX 56480 KachelY + 1 87713 -0.43411656 -0.90568187 -24.873047 -51.891749
    Unten rechts KachelX + 1 56481 KachelY + 1 87713 -0.43406863 -0.90568187 -24.870301 -51.891749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90565229--0.90568187) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90565229--0.90568187) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43406863) × cos(-0.90565229) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617172471298336 × 6371000     		do = 188.461038695674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43406863) × cos(-0.90568187) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617149196659118 × 6371000     		du = 188.453931504595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90565229)-sin(-0.90568187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617172471298336-0.617149196659118)×R²
    abs(-0.43406863--0.43411656)×2.32746392175853e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32746392175853e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32746392175853e-05×40589641000000     		ar = 35515.6008219068m²