Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5643 / 3578
↖ ↑ ↗
← N 22.187405°
E 67.983398°		 ← 4 524.67 m → N 22.187405°
E 68.027344°		 →
↑
4 525.32 m
↓
↑
4 525.32 m
↓
N 22.146708°
E 67.983398°		 ← 4 525.98 m →
20 478 532 m²		 N 22.146708°
E 68.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68890380859375 y=0.43682861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68890380859375 × 213)
    floor (0.68890380859375 × 8192)
    floor (5643.5)     		tx = 5643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43682861328125 × 213)
    floor (0.43682861328125 × 8192)
    floor (3578.5)     		ty = 3578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5643 / 3578 ti = "13/5643/3578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5643/3578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5643 ÷ 213
    5643 ÷ 8192     		x = 0.6888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3578 ÷ 213
    3578 ÷ 8192     		y = 0.436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6888427734375 × 2 - 1) × π
    0.377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18653414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    0.12646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.397301024051025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18653414} λ = 1.18653414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397301024051025))-π/2
    2×atan(1.48780372735418)-π/2
    2×0.979019798178857-π/2
    1.95803959635771-1.57079632675     		φ = 0.38724327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18653414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.983398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38724327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5643 KachelY 3578 1.18653414 0.38724327 67.983398 22.187405
    Oben rechts KachelX + 1 5644 KachelY 3578 1.18730113 0.38724327 68.027344 22.187405
    Unten links KachelX 5643 KachelY + 1 3579 1.18653414 0.38653297 67.983398 22.146708
    Unten rechts KachelX + 1 5644 KachelY + 1 3579 1.18730113 0.38653297 68.027344 22.146708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38724327-0.38653297) × R
    0.000710299999999997 × 6371000     		dl = 4525.32129999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38724327-0.38653297) × R
    0.000710299999999997 × 6371000     		dr = 4525.32129999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18653414-1.18730113) × cos(0.38724327) × R
    0.000766990000000023 × 0.925953620890592 × 6371000     		do = 4524.66615533322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18653414-1.18730113) × cos(0.38653297) × R
    0.000766990000000023 × 0.926221623022251 × 6371000     		du = 4525.97574595127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38724327)-sin(0.38653297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925953620890592-0.926221623022251)×R²
    abs(1.18730113-1.18653414)×0.000268002131659006×R²
    0.000766990000000023×0.000268002131659006×6371000²
    0.000766990000000023×0.000268002131659006×40589641000000     		ar = 20478532.1482748m²