Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5642 / 3591
↖ ↑ ↗
← N 21.657428°
E 67.939453°		 ← 4 541.54 m → N 21.657428°
E 67.983398°		 →
↑
4 542.20 m
↓
↑
4 542.20 m
↓
N 21.616579°
E 67.939453°		 ← 4 542.83 m →
20 631 527 m²		 N 21.616579°
E 67.983398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68878173828125 y=0.43841552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68878173828125 × 213)
    floor (0.68878173828125 × 8192)
    floor (5642.5)     		tx = 5642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43841552734375 × 213)
    floor (0.43841552734375 × 8192)
    floor (3591.5)     		ty = 3591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5642 / 3591 ti = "13/5642/3591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5642/3591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5642 ÷ 213
    5642 ÷ 8192     		x = 0.688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3591 ÷ 213
    3591 ÷ 8192     		y = 0.4383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688720703125 × 2 - 1) × π
    0.37744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18576715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    0.123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.387330148930054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18576715} λ = 1.18576715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387330148930054))-π/2
    2×atan(1.47304273448509)-π/2
    2×0.974394878171493-π/2
    1.94878975634299-1.57079632675     		φ = 0.37799343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18576715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37799343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.657428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5642 KachelY 3591 1.18576715 0.37799343 67.939453 21.657428
    Oben rechts KachelX + 1 5643 KachelY 3591 1.18653414 0.37799343 67.983398 21.657428
    Unten links KachelX 5642 KachelY + 1 3592 1.18576715 0.37728048 67.939453 21.616579
    Unten rechts KachelX + 1 5643 KachelY + 1 3592 1.18653414 0.37728048 67.983398 21.616579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37799343-0.37728048) × R
    0.000712950000000045 × 6371000     		dl = 4542.20445000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37799343-0.37728048) × R
    0.000712950000000045 × 6371000     		dr = 4542.20445000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18576715-1.18653414) × cos(0.37799343) × R
    0.000766990000000023 × 0.92940704341203 × 6371000     		do = 4541.54128131176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18576715-1.18653414) × cos(0.37728048) × R
    0.000766990000000023 × 0.929669925866356 × 6371000     		du = 4542.82585466088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37799343)-sin(0.37728048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92940704341203-0.929669925866356)×R²
    abs(1.18653414-1.18576715)×0.000262882454326152×R²
    0.000766990000000023×0.000262882454326152×6371000²
    0.000766990000000023×0.000262882454326152×40589641000000     		ar = 20631527.289138m²