Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5641 / 3589
↖ ↑ ↗
← N 21.739091°
E 67.895508°		 ← 4 538.97 m → N 21.739091°
E 67.939453°		 →
↑
4 539.66 m
↓
↑
4 539.66 m
↓
N 21.698265°
E 67.895508°		 ← 4 540.25 m →
20 608 271 m²		 N 21.698265°
E 67.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68865966796875 y=0.43817138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68865966796875 × 213)
    floor (0.68865966796875 × 8192)
    floor (5641.5)     		tx = 5641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43817138671875 × 213)
    floor (0.43817138671875 × 8192)
    floor (3589.5)     		ty = 3589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5641 / 3589 ti = "13/5641/3589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5641/3589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5641 ÷ 213
    5641 ÷ 8192     		x = 0.6885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3589 ÷ 213
    3589 ÷ 8192     		y = 0.4381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6885986328125 × 2 - 1) × π
    0.377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18500016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    0.123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388864129717896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18500016} λ = 1.18500016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388864129717896))-π/2
    2×atan(1.47530408773225)-π/2
    2×0.975107522462573-π/2
    1.95021504492515-1.57079632675     		φ = 0.37941872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18500016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37941872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.739091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5641 KachelY 3589 1.18500016 0.37941872 67.895508 21.739091
    Oben rechts KachelX + 1 5642 KachelY 3589 1.18576715 0.37941872 67.939453 21.739091
    Unten links KachelX 5641 KachelY + 1 3590 1.18500016 0.37870617 67.895508 21.698265
    Unten rechts KachelX + 1 5642 KachelY + 1 3590 1.18576715 0.37870617 67.939453 21.698265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37941872-0.37870617) × R
    0.000712549999999978 × 6371000     		dl = 4539.65604999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37941872-0.37870617) × R
    0.000712549999999978 × 6371000     		dr = 4539.65604999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18500016-1.18576715) × cos(0.37941872) × R
    0.000766990000000023 × 0.92888008732324 × 6371000     		do = 4538.96631391976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18500016-1.18576715) × cos(0.37870617) × R
    0.000766990000000023 × 0.929143766183191 × 6371000     		du = 4540.25477889963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37941872)-sin(0.37870617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92888008732324-0.929143766183191)×R²
    abs(1.18576715-1.18500016)×0.000263678859950489×R²
    0.000766990000000023×0.000263678859950489×6371000²
    0.000766990000000023×0.000263678859950489×40589641000000     		ar = 20608271.3536003m²