Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56344 / 87539
↖ ↑ ↗
← S 51.595841°
W 25.246582°		 ← 189.73 m → S 51.595841°
W 25.243835°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
S 51.597548°
W 25.246582°		 ← 189.72 m →
35 997 m²		 S 51.597548°
W 25.243835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429874420166016 y=0.667873382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429874420166016 × 217)
    floor (0.429874420166016 × 131072)
    floor (56344.5)     		tx = 56344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667873382568359 × 217)
    floor (0.667873382568359 × 131072)
    floor (87539.5)     		ty = 87539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56344 / 87539 ti = "17/56344/87539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56344/87539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56344 ÷ 217
    56344 ÷ 131072     		x = 0.42987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87539 ÷ 217
    87539 ÷ 131072     		y = 0.667869567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44063598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667869567871094 × 2 - 1) × π
    -0.335739135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.0547556023401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44063598} λ = -0.44063598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0547556023401))-π/2
    2×atan(0.348277535120279)-π/2
    2×0.335139506148931-π/2
    0.670279012297862-1.57079632675     		φ = -0.90051731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44063598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90051731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.595841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56344 KachelY 87539 -0.44063598 -0.90051731 -25.246582 -51.595841
    Oben rechts KachelX + 1 56345 KachelY 87539 -0.44058804 -0.90051731 -25.243835 -51.595841
    Unten links KachelX 56344 KachelY + 1 87540 -0.44063598 -0.90054709 -25.246582 -51.597548
    Unten rechts KachelX + 1 56345 KachelY + 1 87540 -0.44058804 -0.90054709 -25.243835 -51.597548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90051731--0.90054709) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90051731--0.90054709) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44063598--0.44058804) × cos(-0.90051731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621204662270712 × 6371000     		do = 189.731893665358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44063598--0.44058804) × cos(-0.90054709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621181324946804 × 6371000     		du = 189.724765845934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90051731)-sin(-0.90054709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621204662270712-0.621181324946804)×R²
    abs(-0.44058804--0.44063598)×2.33373239079127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33373239079127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33373239079127e-05×40589641000000     		ar = 35996.8486473891m²