Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56303 / 87651
↖ ↑ ↗
← S 51.786533°
W 25.359192°		 ← 188.89 m → S 51.786533°
W 25.356445°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
S 51.788232°
W 25.359192°		 ← 188.89 m →
35 682 m²		 S 51.788232°
W 25.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429561614990234 y=0.668727874755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429561614990234 × 217)
    floor (0.429561614990234 × 131072)
    floor (56303.5)     		tx = 56303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668727874755859 × 217)
    floor (0.668727874755859 × 131072)
    floor (87651.5)     		ty = 87651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56303 / 87651 ti = "17/56303/87651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56303/87651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56303 ÷ 217
    56303 ÷ 131072     		x = 0.429557800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87651 ÷ 217
    87651 ÷ 131072     		y = 0.668724060058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429557800292969 × 2 - 1) × π
    -0.140884399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44260139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668724060058594 × 2 - 1) × π
    -0.337448120117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.06012453509754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44260139} λ = -0.44260139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06012453509754))-π/2
    2×atan(0.346412667108402)-π/2
    2×0.333475409388158-π/2
    0.666950818776316-1.57079632675     		φ = -0.90384551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44260139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.359192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90384551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.786533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56303 KachelY 87651 -0.44260139 -0.90384551 -25.359192 -51.786533
    Oben rechts KachelX + 1 56304 KachelY 87651 -0.44255346 -0.90384551 -25.356445 -51.786533
    Unten links KachelX 56303 KachelY + 1 87652 -0.44260139 -0.90387516 -25.359192 -51.788232
    Unten rechts KachelX + 1 56304 KachelY + 1 87652 -0.44255346 -0.90387516 -25.356445 -51.788232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90384551--0.90387516) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dl = 188.90014999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90384551--0.90387516) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dr = 188.90014999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44260139--0.44255346) × cos(-0.90384551) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618593088068667 × 6371000     		do = 188.894841116514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44260139--0.44255346) × cos(-0.90387516) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618569791450217 × 6371000     		du = 188.887727213812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90384551)-sin(-0.90387516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618593088068667-0.618569791450217)×R²
    abs(-0.44255346--0.44260139)×2.32966184502414e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32966184502414e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32966184502414e-05×40589641000000     		ar = 35681.5919151234m²