Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56129 / 90560
↖ ↑ ↗
← S 56.462490°
W 25.837097°		 ← 168.71 m → S 56.462490°
W 25.834351°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
S 56.464008°
W 25.837097°		 ← 168.70 m →
28 472 m²		 S 56.464008°
W 25.834351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428234100341797 y=0.690921783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428234100341797 × 217)
    floor (0.428234100341797 × 131072)
    floor (56129.5)     		tx = 56129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690921783447266 × 217)
    floor (0.690921783447266 × 131072)
    floor (90560.5)     		ty = 90560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56129 / 90560 ti = "17/56129/90560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56129/90560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56129 ÷ 217
    56129 ÷ 131072     		x = 0.428230285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90560 ÷ 217
    90560 ÷ 131072     		y = 0.69091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428230285644531 × 2 - 1) × π
    -0.143539428710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.45094241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    -0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45094241} λ = -0.45094241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19957297609229))-π/2
    2×atan(0.301322856506758)-π/2
    2×0.292669981996998-π/2
    0.585339963993996-1.57079632675     		φ = -0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45094241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.837097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56129 KachelY 90560 -0.45094241 -0.98545636 -25.837097 -56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 56130 KachelY 90560 -0.45089448 -0.98545636 -25.834351 -56.462490
    Unten links KachelX 56129 KachelY + 1 90561 -0.45094241 -0.98548285 -25.837097 -56.464008
    Unten rechts KachelX + 1 56130 KachelY + 1 90561 -0.45089448 -0.98548285 -25.834351 -56.464008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98545636--0.98548285) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98545636--0.98548285) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45094241--0.45089448) × cos(-0.98545636) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 168.707264718772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45094241--0.45089448) × cos(-0.98548285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.552460704586816 × 6371000     		du = 168.700522247964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98545636)-sin(-0.98548285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.552460704586816)×R²
    abs(-0.45089448--0.45094241)×2.2080252767287e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2080252767287e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2080252767287e-05×40589641000000     		ar = 28471.7832692786m²