Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55961 / 90789
↖ ↑ ↗
← S 56.808397°
W 26.298523°		 ← 167.17 m → S 56.808397°
W 26.295777°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
S 56.809900°
W 26.298523°		 ← 167.16 m →
27 946 m²		 S 56.809900°
W 26.295777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426952362060547 y=0.692668914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426952362060547 × 217)
    floor (0.426952362060547 × 131072)
    floor (55961.5)     		tx = 55961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692668914794922 × 217)
    floor (0.692668914794922 × 131072)
    floor (90789.5)     		ty = 90789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55961 / 90789 ti = "17/55961/90789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55961/90789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55961 ÷ 217
    55961 ÷ 131072     		x = 0.426948547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90789 ÷ 217
    90789 ÷ 131072     		y = 0.692665100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426948547363281 × 2 - 1) × π
    -0.146102905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45899581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692665100097656 × 2 - 1) × π
    -0.385330200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.21055052610528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45899581} λ = -0.45899581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21055052610528))-π/2
    2×atan(0.298033159223413)-π/2
    2×0.28965137802869-π/2
    0.57930275605738-1.57079632675     		φ = -0.99149357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45899581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.298523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99149357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.808397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55961 KachelY 90789 -0.45899581 -0.99149357 -26.298523 -56.808397
    Oben rechts KachelX + 1 55962 KachelY 90789 -0.45894788 -0.99149357 -26.295777 -56.808397
    Unten links KachelX 55961 KachelY + 1 90790 -0.45899581 -0.99151981 -26.298523 -56.809900
    Unten rechts KachelX + 1 55962 KachelY + 1 90790 -0.45894788 -0.99151981 -26.295777 -56.809900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99149357--0.99151981) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dl = 167.175039999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99149357--0.99151981) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dr = 167.175039999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45899581--0.45894788) × cos(-0.99149357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.547440585729764 × 6371000     		do = 167.167568562932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45899581--0.45894788) × cos(-0.99151981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.547418626740241 × 6371000     		du = 167.160863121315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99149357)-sin(-0.99151981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547440585729764-0.547418626740241)×R²
    abs(-0.45894788--0.45899581)×2.19589895223971e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19589895223971e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19589895223971e-05×40589641000000     		ar = 27945.6844715323m²