Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55954 / 90810
↖ ↑ ↗
← S 56.839959°
W 26.317749°		 ← 167.03 m → S 56.839959°
W 26.315003°		 →
↑
167.05 m
↓
↑
167.05 m
↓
S 56.841461°
W 26.317749°		 ← 167.02 m →
27 901 m²		 S 56.841461°
W 26.315003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426898956298828 y=0.692829132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426898956298828 × 217)
    floor (0.426898956298828 × 131072)
    floor (55954.5)     		tx = 55954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692829132080078 × 217)
    floor (0.692829132080078 × 131072)
    floor (90810.5)     		ty = 90810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55954 / 90810 ti = "17/55954/90810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55954/90810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55954 ÷ 217
    55954 ÷ 131072     		x = 0.426895141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90810 ÷ 217
    90810 ÷ 131072     		y = 0.692825317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426895141601562 × 2 - 1) × π
    -0.146209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45933137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692825317382812 × 2 - 1) × π
    -0.385650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.2115572009973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45933137} λ = -0.45933137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2115572009973))-π/2
    2×atan(0.29773328768693)-π/2
    2×0.289375946728815-π/2
    0.57875189345763-1.57079632675     		φ = -0.99204443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45933137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.317749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99204443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.839959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55954 KachelY 90810 -0.45933137 -0.99204443 -26.317749 -56.839959
    Oben rechts KachelX + 1 55955 KachelY 90810 -0.45928344 -0.99204443 -26.315003 -56.839959
    Unten links KachelX 55954 KachelY + 1 90811 -0.45933137 -0.99207065 -26.317749 -56.841461
    Unten rechts KachelX + 1 55955 KachelY + 1 90811 -0.45928344 -0.99207065 -26.315003 -56.841461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99204443--0.99207065) × R
    2.62200000000767e-05 × 6371000     		dl = 167.047620000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99204443--0.99207065) × R
    2.62200000000767e-05 × 6371000     		dr = 167.047620000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45933137--0.45928344) × cos(-0.99204443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.546979518503344 × 6371000     		do = 167.026776138706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45933137--0.45928344) × cos(-0.99207065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.546957568347502 × 6371000     		du = 167.020073394559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99204443)-sin(-0.99207065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546979518503344-0.546957568347502)×R²
    abs(-0.45928344--0.45933137)×2.19501558413882e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19501558413882e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19501558413882e-05×40589641000000     		ar = 27900.8655930507m²