Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55941 / 90814
↖ ↑ ↗
← S 56.845968°
W 26.353454°		 ← 167.03 m → S 56.845968°
W 26.350708°		 →
↑
166.98 m
↓
↑
166.98 m
↓
S 56.847470°
W 26.353454°		 ← 167.03 m →
27 892 m²		 S 56.847470°
W 26.350708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426799774169922 y=0.692859649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426799774169922 × 217)
    floor (0.426799774169922 × 131072)
    floor (55941.5)     		tx = 55941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692859649658203 × 217)
    floor (0.692859649658203 × 131072)
    floor (90814.5)     		ty = 90814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55941 / 90814 ti = "17/55941/90814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55941/90814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55941 ÷ 217
    55941 ÷ 131072     		x = 0.426795959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90814 ÷ 217
    90814 ÷ 131072     		y = 0.692855834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426795959472656 × 2 - 1) × π
    -0.146408081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.45995455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692855834960938 × 2 - 1) × π
    -0.385711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.21174894859578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45995455} λ = -0.45995455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21174894859578))-π/2
    2×atan(0.297676203517079)-π/2
    2×0.289323509933342-π/2
    0.578647019866685-1.57079632675     		φ = -0.99214931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45995455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.353454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99214931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.845968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55941 KachelY 90814 -0.45995455 -0.99214931 -26.353454 -56.845968
    Oben rechts KachelX + 1 55942 KachelY 90814 -0.45990661 -0.99214931 -26.350708 -56.845968
    Unten links KachelX 55941 KachelY + 1 90815 -0.45995455 -0.99217552 -26.353454 -56.847470
    Unten rechts KachelX + 1 55942 KachelY + 1 90815 -0.45990661 -0.99217552 -26.350708 -56.847470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99214931--0.99217552) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dl = 166.983910000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99214931--0.99217552) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dr = 166.983910000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45995455--0.45990661) × cos(-0.99214931) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546891715623877 × 6371000     		do = 167.034806944376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45995455--0.45990661) × cos(-0.99217552) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546869772336195 × 6371000     		du = 167.028104899498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99214931)-sin(-0.99217552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546891715623877-0.546869772336195)×R²
    abs(-0.45990661--0.45995455)×2.19432876819026e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19432876819026e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19432876819026e-05×40589641000000     		ar = 27891.5656045537m²