Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55939 / 90753
↖ ↑ ↗
← S 56.754228°
W 26.358948°		 ← 167.44 m → S 56.754228°
W 26.356201°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
S 56.755734°
W 26.358948°		 ← 167.44 m →
28 035 m²		 S 56.755734°
W 26.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426784515380859 y=0.692394256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426784515380859 × 217)
    floor (0.426784515380859 × 131072)
    floor (55939.5)     		tx = 55939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692394256591797 × 217)
    floor (0.692394256591797 × 131072)
    floor (90753.5)     		ty = 90753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55939 / 90753 ti = "17/55939/90753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55939/90753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55939 ÷ 217
    55939 ÷ 131072     		x = 0.426780700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90753 ÷ 217
    90753 ÷ 131072     		y = 0.692390441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426780700683594 × 2 - 1) × π
    -0.146438598632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.46005043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692390441894531 × 2 - 1) × π
    -0.384780883789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.20882479771896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46005043} λ = -0.46005043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20882479771896))-π/2
    2×atan(0.298547927553755)-π/2
    2×0.290124086089516-π/2
    0.580248172179032-1.57079632675     		φ = -0.99054815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46005043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.358948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99054815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.754228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55939 KachelY 90753 -0.46005043 -0.99054815 -26.358948 -56.754228
    Oben rechts KachelX + 1 55940 KachelY 90753 -0.46000249 -0.99054815 -26.356201 -56.754228
    Unten links KachelX 55939 KachelY + 1 90754 -0.46005043 -0.99057443 -26.358948 -56.755734
    Unten rechts KachelX + 1 55940 KachelY + 1 90754 -0.46000249 -0.99057443 -26.356201 -56.755734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99054815--0.99057443) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99054815--0.99057443) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46005043--0.46000249) × cos(-0.99054815) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548231510532381 × 6371000     		do = 167.444014795754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46005043--0.46000249) × cos(-0.99057443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548209531679565 × 6371000     		du = 167.437301888369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99054815)-sin(-0.99057443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548231510532381-0.548209531679565)×R²
    abs(-0.46000249--0.46005043)×2.19788528158515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19788528158515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19788528158515e-05×40589641000000     		ar = 28034.569334848m²