Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55930 / 90756
↖ ↑ ↗
← S 56.758746°
W 26.383667°		 ← 167.42 m → S 56.758746°
W 26.380920°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
S 56.760251°
W 26.383667°		 ← 167.42 m →
28 031 m²		 S 56.760251°
W 26.380920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426715850830078 y=0.692417144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426715850830078 × 217)
    floor (0.426715850830078 × 131072)
    floor (55930.5)     		tx = 55930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692417144775391 × 217)
    floor (0.692417144775391 × 131072)
    floor (90756.5)     		ty = 90756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55930 / 90756 ti = "17/55930/90756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55930/90756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55930 ÷ 217
    55930 ÷ 131072     		x = 0.426712036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90756 ÷ 217
    90756 ÷ 131072     		y = 0.692413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426712036132812 × 2 - 1) × π
    -0.146575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46048186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.38482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20896860841782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46048186} λ = -0.46048186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20896860841782))-π/2
    2×atan(0.298504996254715)-π/2
    2×0.290084667682028-π/2
    0.580169335364056-1.57079632675     		φ = -0.99062699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46048186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.383667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99062699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.758746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55930 KachelY 90756 -0.46048186 -0.99062699 -26.383667 -56.758746
    Oben rechts KachelX + 1 55931 KachelY 90756 -0.46043392 -0.99062699 -26.380920 -56.758746
    Unten links KachelX 55930 KachelY + 1 90757 -0.46048186 -0.99065327 -26.383667 -56.760251
    Unten rechts KachelX + 1 55931 KachelY + 1 90757 -0.46043392 -0.99065327 -26.380920 -56.760251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99062699--0.99065327) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99062699--0.99065327) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46048186--0.46043392) × cos(-0.99062699) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548165572838105 × 6371000     		do = 167.423875726686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46048186--0.46043392) × cos(-0.99065327) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548143592849491 × 6371000     		du = 167.417162472398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99062699)-sin(-0.99065327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548165572838105-0.548143592849491)×R²
    abs(-0.46043392--0.46048186)×2.19799886139738e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19799886139738e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19799886139738e-05×40589641000000     		ar = 28031.1974241171m²