Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55929 / 90757
↖ ↑ ↗
← S 56.760251°
W 26.386413°		 ← 167.38 m → S 56.760251°
W 26.383667°		 →
↑
167.37 m
↓
↑
167.37 m
↓
S 56.761756°
W 26.386413°		 ← 167.38 m →
28 014 m²		 S 56.761756°
W 26.383667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426708221435547 y=0.692424774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426708221435547 × 217)
    floor (0.426708221435547 × 131072)
    floor (55929.5)     		tx = 55929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692424774169922 × 217)
    floor (0.692424774169922 × 131072)
    floor (90757.5)     		ty = 90757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55929 / 90757 ti = "17/55929/90757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55929/90757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55929 ÷ 217
    55929 ÷ 131072     		x = 0.426704406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90757 ÷ 217
    90757 ÷ 131072     		y = 0.692420959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426704406738281 × 2 - 1) × π
    -0.146591186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46052979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692420959472656 × 2 - 1) × π
    -0.384841918945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.20901654531744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46052979} λ = -0.46052979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20901654531744))-π/2
    2×atan(0.298490687193642)-π/2
    2×0.290071529266419-π/2
    0.580143058532838-1.57079632675     		φ = -0.99065327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46052979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.386413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99065327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.760251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55929 KachelY 90757 -0.46052979 -0.99065327 -26.386413 -56.760251
    Oben rechts KachelX + 1 55930 KachelY 90757 -0.46048186 -0.99065327 -26.383667 -56.760251
    Unten links KachelX 55929 KachelY + 1 90758 -0.46052979 -0.99067954 -26.386413 -56.761756
    Unten rechts KachelX + 1 55930 KachelY + 1 90758 -0.46048186 -0.99067954 -26.383667 -56.761756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99065327--0.99067954) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dl = 167.366169999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99065327--0.99067954) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dr = 167.366169999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46052979--0.46048186) × cos(-0.99065327) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.548143592849491 × 6371000     		do = 167.382240243922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46052979--0.46048186) × cos(-0.99067954) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.548121620846294 × 6371000     		du = 167.375530828423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99065327)-sin(-0.99067954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548143592849491-0.548121620846294)×R²
    abs(-0.46048186--0.46052979)×2.19720031965354e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19720031965354e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19720031965354e-05×40589641000000     		ar = 28013.5630126729m²