Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54908 / 91788
↖ ↑ ↗
← S 58.280620°
W 29.190674°		 ← 160.58 m → S 58.280620°
W 29.187927°		 →
↑
160.55 m
↓
↑
160.55 m
↓
S 58.282064°
W 29.190674°		 ← 160.57 m →
25 781 m²		 S 58.282064°
W 29.187927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418918609619141 y=0.700290679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418918609619141 × 217)
    floor (0.418918609619141 × 131072)
    floor (54908.5)     		tx = 54908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700290679931641 × 217)
    floor (0.700290679931641 × 131072)
    floor (91788.5)     		ty = 91788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54908 / 91788 ti = "17/54908/91788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54908/91788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54908 ÷ 217
    54908 ÷ 131072     		x = 0.418914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91788 ÷ 217
    91788 ÷ 131072     		y = 0.700286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.16217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50947337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.40057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25843948882571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50947337} λ = -0.50947337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25843948882571))-π/2
    2×atan(0.28409701733393)-π/2
    2×0.276803810700099-π/2
    0.553607621400198-1.57079632675     		φ = -1.01718871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50947337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.190674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01718871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.280620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54908 KachelY 91788 -0.50947337 -1.01718871 -29.190674 -58.280620
    Oben rechts KachelX + 1 54909 KachelY 91788 -0.50942543 -1.01718871 -29.187927 -58.280620
    Unten links KachelX 54908 KachelY + 1 91789 -0.50947337 -1.01721391 -29.190674 -58.282064
    Unten rechts KachelX + 1 54909 KachelY + 1 91789 -0.50942543 -1.01721391 -29.187927 -58.282064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01718871--1.01721391) × R
    2.51999999998365e-05 × 6371000     		dl = 160.549199998958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01718871--1.01721391) × R
    2.51999999998365e-05 × 6371000     		dr = 160.549199998958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50947337--0.50942543) × cos(-1.01718871) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.525759402686067 × 6371000     		do = 160.580454627617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50947337--0.50942543) × cos(-1.01721391) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.525737966559387 × 6371000     		du = 160.573907482763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01718871)-sin(-1.01721391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525759402686067-0.525737966559387)×R²
    abs(-0.50942543--0.50947337)×2.14361266805962e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.14361266805962e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.14361266805962e-05×40589641000000     		ar = 25780.53795776m²