Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54832 / 62000
↖ ↑ ↗
← S 83.058160°
E121.201172°		 ← 73.82 m → S 83.058160°
E121.206665°		 →
↑
73.78 m
↓
↑
73.78 m
↓
S 83.058823°
E121.201172°		 ← 73.81 m →
5 446 m²		 S 83.058823°
E121.206665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836677551269531 y=0.946052551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836677551269531 × 216)
    floor (0.836677551269531 × 65536)
    floor (54832.5)     		tx = 54832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.946052551269531 × 216)
    floor (0.946052551269531 × 65536)
    floor (62000.5)     		ty = 62000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54832 / 62000 ti = "16/54832/62000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54832/62000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54832 ÷ 216
    54832 ÷ 65536     		x = 0.836669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62000 ÷ 216
    62000 ÷ 65536     		y = 0.946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.836669921875 × 2 - 1) × π
    0.67333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.11535951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.89208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.80258289938696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11535951} λ = 2.11535951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.80258289938696))-π/2
    2×atan(0.0606531990204044)-π/2
    2×0.0605789855525241-π/2
    0.121157971105048-1.57079632675     		φ = -1.44963836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11535951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.201172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44963836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.058160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54832 KachelY 62000 2.11535951 -1.44963836 121.201172 -83.058160
    Oben rechts KachelX + 1 54833 KachelY 62000 2.11545538 -1.44963836 121.206665 -83.058160
    Unten links KachelX 54832 KachelY + 1 62001 2.11535951 -1.44964994 121.201172 -83.058823
    Unten rechts KachelX + 1 54833 KachelY + 1 62001 2.11545538 -1.44964994 121.206665 -83.058823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44963836--1.44964994) × R
    1.1580000000011e-05 × 6371000     		dl = 73.7761800000702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44963836--1.44964994) × R
    1.1580000000011e-05 × 6371000     		dr = 73.7761800000702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11535951-2.11545538) × cos(-1.44963836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.120861766205734 × 6371000     		do = 73.8208886590599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11535951-2.11545538) × cos(-1.44964994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.120850271086586 × 6371000     		du = 73.81386758087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44963836)-sin(-1.44964994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.120861766205734-0.120850271086586)×R²
    abs(2.11545538-2.11535951)×1.14951191473867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.14951191473867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.14951191473867e-05×40589641000000     		ar = 5445.96417543015m²