Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54816 / 62048
↖ ↑ ↗
← S 83.089955°
E121.113281°		 ← 73.48 m → S 83.089955°
E121.118774°		 →
↑
73.46 m
↓
↑
73.46 m
↓
S 83.090616°
E121.113281°		 ← 73.48 m →
5 398 m²		 S 83.090616°
E121.118774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836433410644531 y=0.946784973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836433410644531 × 216)
    floor (0.836433410644531 × 65536)
    floor (54816.5)     		tx = 54816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.946784973144531 × 216)
    floor (0.946784973144531 × 65536)
    floor (62048.5)     		ty = 62048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54816 / 62048 ti = "16/54816/62048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54816/62048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54816 ÷ 216
    54816 ÷ 65536     		x = 0.83642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62048 ÷ 216
    62048 ÷ 65536     		y = 0.94677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83642578125 × 2 - 1) × π
    0.6728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11382553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94677734375 × 2 - 1) × π
    -0.8935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.80718484175049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11382553} λ = 2.11382553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.80718484175049))-π/2
    2×atan(0.0603747177631665)-π/2
    2×0.0603015203577157-π/2
    0.120603040715431-1.57079632675     		φ = -1.45019329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11382553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45019329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.089955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54816 KachelY 62048 2.11382553 -1.45019329 121.113281 -83.089955
    Oben rechts KachelX + 1 54817 KachelY 62048 2.11392140 -1.45019329 121.118774 -83.089955
    Unten links KachelX 54816 KachelY + 1 62049 2.11382553 -1.45020482 121.113281 -83.090616
    Unten rechts KachelX + 1 54817 KachelY + 1 62049 2.11392140 -1.45020482 121.118774 -83.090616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45019329--1.45020482) × R
    1.15299999998708e-05 × 6371000     		dl = 73.4576299991769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45019329--1.45020482) × R
    1.15299999998708e-05 × 6371000     		dr = 73.4576299991769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11382553-2.11392140) × cos(-1.45019329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12031088562347 × 6371000     		do = 73.4844175366828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11382553-2.11392140) × cos(-1.45020482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.120299439366344 × 6371000     		du = 73.4774263028179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45019329)-sin(-1.45020482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12031088562347-0.120299439366344)×R²
    abs(2.11392140-2.11382553)×1.14462571261242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.14462571261242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.14462571261242e-05×40589641000000     		ar = 5397.73437456796m²