Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54802 / 60946
↖ ↑ ↗
← S 82.322114°
E121.036377°		 ← 81.61 m → S 82.322114°
E121.041870°		 →
↑
81.61 m
↓
↑
81.61 m
↓
S 82.322848°
E121.036377°		 ← 81.60 m →
6 660 m²		 S 82.322848°
E121.041870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836219787597656 y=0.929969787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836219787597656 × 216)
    floor (0.836219787597656 × 65536)
    floor (54802.5)     		tx = 54802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929969787597656 × 216)
    floor (0.929969787597656 × 65536)
    floor (60946.5)     		ty = 60946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54802 / 60946 ti = "16/54802/60946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54802/60946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54802 ÷ 216
    54802 ÷ 65536     		x = 0.836212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60946 ÷ 216
    60946 ÷ 65536     		y = 0.929962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.836212158203125 × 2 - 1) × π
    0.67242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11248329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.85992431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70153191498788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11248329} λ = 2.11248329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70153191498788))-π/2
    2×atan(0.0671026384249861)-π/2
    2×0.067002193869139-π/2
    0.134004387738278-1.57079632675     		φ = -1.43679194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11248329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.036377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43679194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.322114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54802 KachelY 60946 2.11248329 -1.43679194 121.036377 -82.322114
    Oben rechts KachelX + 1 54803 KachelY 60946 2.11257917 -1.43679194 121.041870 -82.322114
    Unten links KachelX 54802 KachelY + 1 60947 2.11248329 -1.43680475 121.036377 -82.322848
    Unten rechts KachelX + 1 54803 KachelY + 1 60947 2.11257917 -1.43680475 121.041870 -82.322848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43679194--1.43680475) × R
    1.28100000000853e-05 × 6371000     		dl = 81.6125100005432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43679194--1.43680475) × R
    1.28100000000853e-05 × 6371000     		dr = 81.6125100005432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11248329-2.11257917) × cos(-1.43679194) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133603690014008 × 6371000     		do = 81.6120117784644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11248329-2.11257917) × cos(-1.43680475) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133590994846746 × 6371000     		du = 81.6042569167539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43679194)-sin(-1.43680475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133603690014008-0.133590994846746)×R²
    abs(2.11257917-2.11248329)×1.2695167261545e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.2695167261545e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.2695167261545e-05×40589641000000     		ar = 6660.24468075788m²