Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54800 / 60944
↖ ↑ ↗
← S 82.320646°
E121.025390°		 ← 81.63 m → S 82.320646°
E121.030884°		 →
↑
81.61 m
↓
↑
81.61 m
↓
S 82.321380°
E121.025390°		 ← 81.62 m →
6 662 m²		 S 82.321380°
E121.030884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836189270019531 y=0.929939270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836189270019531 × 216)
    floor (0.836189270019531 × 65536)
    floor (54800.5)     		tx = 54800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929939270019531 × 216)
    floor (0.929939270019531 × 65536)
    floor (60944.5)     		ty = 60944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54800 / 60944 ti = "16/54800/60944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54800/60944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54800 ÷ 216
    54800 ÷ 65536     		x = 0.836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60944 ÷ 216
    60944 ÷ 65536     		y = 0.929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.836181640625 × 2 - 1) × π
    0.67236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.11229154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.85986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7013401673894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11229154} λ = 2.11229154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7013401673894))-π/2
    2×atan(0.0671155064284207)-π/2
    2×0.0670150041797052-π/2
    0.13403000835941-1.57079632675     		φ = -1.43676632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11229154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.025390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43676632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.320646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54800 KachelY 60944 2.11229154 -1.43676632 121.025390 -82.320646
    Oben rechts KachelX + 1 54801 KachelY 60944 2.11238742 -1.43676632 121.030884 -82.320646
    Unten links KachelX 54800 KachelY + 1 60945 2.11229154 -1.43677913 121.025390 -82.321380
    Unten rechts KachelX + 1 54801 KachelY + 1 60945 2.11238742 -1.43677913 121.030884 -82.321380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43676632--1.43677913) × R
    1.28099999998632e-05 × 6371000     		dl = 81.6125099991285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43676632--1.43677913) × R
    1.28099999998632e-05 × 6371000     		dr = 81.6125099991285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11229154-2.11238742) × cos(-1.43676632) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133629080282757 × 6371000     		do = 81.6275214617075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11229154-2.11238742) × cos(-1.43677913) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133616385159346 × 6371000     		du = 81.6197666267828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43676632)-sin(-1.43677913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133629080282757-0.133616385159346)×R²
    abs(2.11238742-2.11229154)×1.2695123411538e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.2695123411538e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.2695123411538e-05×40589641000000     		ar = 6661.51046595764m²