Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54789 / 61956
↖ ↑ ↗
← S 83.028886°
E120.964966°		 ← 74.14 m → S 83.028886°
E120.970459°		 →
↑
74.09 m
↓
↑
74.09 m
↓
S 83.029553°
E120.964966°		 ← 74.13 m →
5 493 m²		 S 83.029553°
E120.970459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836021423339844 y=0.945381164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836021423339844 × 216)
    floor (0.836021423339844 × 65536)
    floor (54789.5)     		tx = 54789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945381164550781 × 216)
    floor (0.945381164550781 × 65536)
    floor (61956.5)     		ty = 61956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54789 / 61956 ti = "16/54789/61956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54789/61956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54789 ÷ 216
    54789 ÷ 65536     		x = 0.836013793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61956 ÷ 216
    61956 ÷ 65536     		y = 0.94537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.836013793945312 × 2 - 1) × π
    0.672027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11123693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.8907470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7983644522204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11123693} λ = 2.11123693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7983644522204))-π/2
    2×atan(0.0609096017664437)-π/2
    2×0.060834444534978-π/2
    0.121668889069956-1.57079632675     		φ = -1.44912744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11123693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.964966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44912744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.028886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54789 KachelY 61956 2.11123693 -1.44912744 120.964966 -83.028886
    Oben rechts KachelX + 1 54790 KachelY 61956 2.11133281 -1.44912744 120.970459 -83.028886
    Unten links KachelX 54789 KachelY + 1 61957 2.11123693 -1.44913907 120.964966 -83.029553
    Unten rechts KachelX + 1 54790 KachelY + 1 61957 2.11133281 -1.44913907 120.970459 -83.029553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44912744--1.44913907) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dl = 74.0947299995489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44912744--1.44913907) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dr = 74.0947299995489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11123693-2.11133281) × cos(-1.44912744) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.121368925031862 × 6371000     		do = 74.1383874816734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11123693-2.11133281) × cos(-1.44913907) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.12135738099881 × 6371000     		du = 74.1313357919986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44912744)-sin(-1.44913907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121368925031862-0.12135738099881)×R²
    abs(2.11133281-2.11123693)×1.1544033051758e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.1544033051758e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.1544033051758e-05×40589641000000     		ar = 5493.00255691536m²