Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54787 / 61957
↖ ↑ ↗
← S 83.029553°
E120.953980°		 ← 74.12 m → S 83.029553°
E120.959473°		 →
↑
74.16 m
↓
↑
74.16 m
↓
S 83.030220°
E120.953980°		 ← 74.12 m →
5 497 m²		 S 83.030220°
E120.959473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835990905761719 y=0.945396423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835990905761719 × 216)
    floor (0.835990905761719 × 65536)
    floor (54787.5)     		tx = 54787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945396423339844 × 216)
    floor (0.945396423339844 × 65536)
    floor (61957.5)     		ty = 61957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54787 / 61957 ti = "16/54787/61957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54787/61957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54787 ÷ 216
    54787 ÷ 65536     		x = 0.835983276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61957 ÷ 216
    61957 ÷ 65536     		y = 0.945388793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.835983276367188 × 2 - 1) × π
    0.671966552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.11104519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.945388793945312 × 2 - 1) × π
    -0.890777587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79846032601964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11104519} λ = 2.11104519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79846032601964))-π/2
    2×atan(0.0609037624114372)-π/2
    2×0.0608286267617223-π/2
    0.121657253523445-1.57079632675     		φ = -1.44913907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11104519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.953980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44913907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.029553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54787 KachelY 61957 2.11104519 -1.44913907 120.953980 -83.029553
    Oben rechts KachelX + 1 54788 KachelY 61957 2.11114106 -1.44913907 120.959473 -83.029553
    Unten links KachelX 54787 KachelY + 1 61958 2.11104519 -1.44915071 120.953980 -83.030220
    Unten rechts KachelX + 1 54788 KachelY + 1 61958 2.11114106 -1.44915071 120.959473 -83.030220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44913907--1.44915071) × R
    1.16400000000905e-05 × 6371000     		dl = 74.1584400005764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44913907--1.44915071) × R
    1.16400000000905e-05 × 6371000     		dr = 74.1584400005764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11104519-2.11114106) × cos(-1.44913907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12135738099881 × 6371000     		do = 74.1236041133022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11104519-2.11114106) × cos(-1.44915071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.121345827023241 × 6371000     		du = 74.1165470863296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44913907)-sin(-1.44915071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12135738099881-0.121345827023241)×R²
    abs(2.11114106-2.11104519)×1.15539755692479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.15539755692479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.15539755692479e-05×40589641000000     		ar = 5496.62917928481m²