Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54783 / 60927
↖ ↑ ↗
← S 82.308158°
E120.932007°		 ← 81.75 m → S 82.308158°
E120.937500°		 →
↑
81.74 m
↓
↑
81.74 m
↓
S 82.308893°
E120.932007°		 ← 81.74 m →
6 682 m²		 S 82.308893°
E120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835929870605469 y=0.929679870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835929870605469 × 216)
    floor (0.835929870605469 × 65536)
    floor (54783.5)     		tx = 54783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929679870605469 × 216)
    floor (0.929679870605469 × 65536)
    floor (60927.5)     		ty = 60927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54783 / 60927 ti = "16/54783/60927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54783/60927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54783 ÷ 216
    54783 ÷ 65536     		x = 0.835922241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60927 ÷ 216
    60927 ÷ 65536     		y = 0.929672241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.835922241210938 × 2 - 1) × π
    0.671844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11066169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929672241210938 × 2 - 1) × π
    -0.859344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.69971031280232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11066169} λ = 2.11066169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69971031280232))-π/2
    2×atan(0.0672249841365749)-π/2
    2×0.0671239901602442-π/2
    0.134247980320488-1.57079632675     		φ = -1.43654835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11066169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.932007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43654835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54783 KachelY 60927 2.11066169 -1.43654835 120.932007 -82.308158
    Oben rechts KachelX + 1 54784 KachelY 60927 2.11075756 -1.43654835 120.937500 -82.308158
    Unten links KachelX 54783 KachelY + 1 60928 2.11066169 -1.43656118 120.932007 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 54784 KachelY + 1 60928 2.11075756 -1.43656118 120.937500 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43654835--1.43656118) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dl = 81.7399299997688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43654835--1.43656118) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dr = 81.7399299997688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11066169-2.11075756) × cos(-1.43654835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133845092224526 × 6371000     		do = 81.7509454052609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11066169-2.11075756) × cos(-1.43656118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 81.7431795013498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43654835)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133845092224526-0.133832377654437)×R²
    abs(2.11075756-2.11066169)×1.27145700888898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27145700888898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27145700888898e-05×40589641000000     		ar = 6681.99916276042m²