Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54752 / 61920
↖ ↑ ↗
← S 83.004844°
E120.761719°		 ← 74.39 m → S 83.004844°
E120.767212°		 →
↑
74.41 m
↓
↑
74.41 m
↓
S 83.005513°
E120.761719°		 ← 74.39 m →
5 536 m²		 S 83.005513°
E120.767212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835456848144531 y=0.944831848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835456848144531 × 216)
    floor (0.835456848144531 × 65536)
    floor (54752.5)     		tx = 54752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.944831848144531 × 216)
    floor (0.944831848144531 × 65536)
    floor (61920.5)     		ty = 61920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54752 / 61920 ti = "16/54752/61920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54752/61920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54752 ÷ 216
    54752 ÷ 65536     		x = 0.83544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61920 ÷ 216
    61920 ÷ 65536     		y = 0.94482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83544921875 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.10768960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    -0.8896484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.79491299544775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.10768960} λ = 2.10768960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79491299544775))-π/2
    2×atan(0.0611201918361854)-π/2
    2×0.0610442535233545-π/2
    0.122088507046709-1.57079632675     		φ = -1.44870782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.10768960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44870782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.004844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54752 KachelY 61920 2.10768960 -1.44870782 120.761719 -83.004844
    Oben rechts KachelX + 1 54753 KachelY 61920 2.10778548 -1.44870782 120.767212 -83.004844
    Unten links KachelX 54752 KachelY + 1 61921 2.10768960 -1.44871950 120.761719 -83.005513
    Unten rechts KachelX + 1 54753 KachelY + 1 61921 2.10778548 -1.44871950 120.767212 -83.005513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44870782--1.44871950) × R
    1.16799999998474e-05 × 6371000     		dl = 74.4132799990276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44870782--1.44871950) × R
    1.16799999998474e-05 × 6371000     		dr = 74.4132799990276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.10768960-2.10778548) × cos(-1.44870782) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.121785432279668 × 6371000     		do = 74.3928115504262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.10768960-2.10778548) × cos(-1.44871950) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.121773839212013 × 6371000     		du = 74.3857299078915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44870782)-sin(-1.44871950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121785432279668-0.121773839212013)×R²
    abs(2.10778548-2.10768960)×1.1593067654761e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.1593067654761e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.1593067654761e-05×40589641000000     		ar = 5535.54963184923m²