Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54528 / 64768
↖ ↑ ↗
← S 84.673512°
E119.531250°		 ← 56.71 m → S 84.673512°
E119.536743°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 84.674022°
E119.531250°		 ← 56.70 m →
3 215 m²		 S 84.674022°
E119.536743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832038879394531 y=0.988288879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832038879394531 × 216)
    floor (0.832038879394531 × 65536)
    floor (54528.5)     		tx = 54528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.988288879394531 × 216)
    floor (0.988288879394531 × 65536)
    floor (64768.5)     		ty = 64768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54528 / 64768 ti = "16/54528/64768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54528/64768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54528 ÷ 216
    54528 ÷ 65536     		x = 0.83203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64768 ÷ 216
    64768 ÷ 65536     		y = 0.98828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83203125 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08621387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98828125 × 2 - 1) × π
    -0.9765625 × 3.1415926535     		Φ = -3.06796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08621387} λ = 2.08621387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.06796157568359))-π/2
    2×atan(0.0465158773778337)-π/2
    2×0.0464823716478539-π/2
    0.0929647432957078-1.57079632675     		φ = -1.47783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08621387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.673512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54528 KachelY 64768 2.08621387 -1.47783158 119.531250 -84.673512
    Oben rechts KachelX + 1 54529 KachelY 64768 2.08630975 -1.47783158 119.536743 -84.673512
    Unten links KachelX 54528 KachelY + 1 64769 2.08621387 -1.47784048 119.531250 -84.674022
    Unten rechts KachelX + 1 54529 KachelY + 1 64769 2.08630975 -1.47784048 119.536743 -84.674022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47783158--1.47784048) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47783158--1.47784048) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08621387-2.08630975) × cos(-1.47783158) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.0928308975419283 × 6371000     		do = 56.7058911531781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08621387-2.08630975) × cos(-1.47784048) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.092822035969438 × 6371000     		du = 56.7004780485072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47783158)-sin(-1.47784048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0928308975419283-0.092822035969438)×R²
    abs(2.08630975-2.08621387)×8.86157249033181e-06×R²
    9.58799999999371e-05×8.86157249033181e-06×6371000²
    9.58799999999371e-05×8.86157249033181e-06×40589641000000     		ar = 3215.1783031691m²