Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54528 / 60160
↖ ↑ ↗
← S 81.723188°
E119.531250°		 ← 87.94 m → S 81.723188°
E119.536743°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
S 81.723978°
E119.531250°		 ← 87.93 m →
7 731 m²		 S 81.723978°
E119.536743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832038879394531 y=0.917976379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832038879394531 × 216)
    floor (0.832038879394531 × 65536)
    floor (54528.5)     		tx = 54528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917976379394531 × 216)
    floor (0.917976379394531 × 65536)
    floor (60160.5)     		ty = 60160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54528 / 60160 ti = "16/54528/60160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54528/60160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54528 ÷ 216
    54528 ÷ 65536     		x = 0.83203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60160 ÷ 216
    60160 ÷ 65536     		y = 0.91796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83203125 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08621387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91796875 × 2 - 1) × π
    -0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08621387} λ = 2.08621387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62617510878516))-π/2
    2×atan(0.0723546824351102)-π/2
    2×0.0722288138214239-π/2
    0.144457627642848-1.57079632675     		φ = -1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08621387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54528 KachelY 60160 2.08621387 -1.42633870 119.531250 -81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 54529 KachelY 60160 2.08630975 -1.42633870 119.536743 -81.723188
    Unten links KachelX 54528 KachelY + 1 60161 2.08621387 -1.42635250 119.531250 -81.723978
    Unten rechts KachelX + 1 54529 KachelY + 1 60161 2.08630975 -1.42635250 119.536743 -81.723978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42633870--1.42635250) × R
    1.37999999998417e-05 × 6371000     		dl = 87.9197999989916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42633870--1.42635250) × R
    1.37999999998417e-05 × 6371000     		dr = 87.9197999989916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08621387-2.08630975) × cos(-1.42633870) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 87.9355688890868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08621387-2.08630975) × cos(-1.42635250) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143942070719939 × 6371000     		du = 87.9272269334816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42633870)-sin(-1.42635250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.143942070719939)×R²
    abs(2.08630975-2.08621387)×1.36562746891333e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36562746891333e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36562746891333e-05×40589641000000     		ar = 7730.91091798897m²