Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54025 / 61192
↖ ↑ ↗
← S 82.500561°
E116.768188°		 ← 79.72 m → S 82.500561°
E116.773681°		 →
↑
79.70 m
↓
↑
79.70 m
↓
S 82.501278°
E116.768188°		 ← 79.71 m →
6 353 m²		 S 82.501278°
E116.773681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824363708496094 y=0.933723449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824363708496094 × 216)
    floor (0.824363708496094 × 65536)
    floor (54025.5)     		tx = 54025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933723449707031 × 216)
    floor (0.933723449707031 × 65536)
    floor (61192.5)     		ty = 61192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54025 / 61192 ti = "16/54025/61192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54025/61192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54025 ÷ 216
    54025 ÷ 65536     		x = 0.824356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61192 ÷ 216
    61192 ÷ 65536     		y = 0.9337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824356079101562 × 2 - 1) × π
    0.648712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03798935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.72511686960095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03798935} λ = 2.03798935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72511686960095))-π/2
    2×atan(0.0655385428070829)-π/2
    2×0.0654449479857349-π/2
    0.13088989597147-1.57079632675     		φ = -1.43990643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03798935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.768188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43990643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.500561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54025 KachelY 61192 2.03798935 -1.43990643 116.768188 -82.500561
    Oben rechts KachelX + 1 54026 KachelY 61192 2.03808522 -1.43990643 116.773681 -82.500561
    Unten links KachelX 54025 KachelY + 1 61193 2.03798935 -1.43991894 116.768188 -82.501278
    Unten rechts KachelX + 1 54026 KachelY + 1 61193 2.03808522 -1.43991894 116.773681 -82.501278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43990643--1.43991894) × R
    1.25100000001321e-05 × 6371000     		dl = 79.7012100008419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43990643--1.43991894) × R
    1.25100000001321e-05 × 6371000     		dr = 79.7012100008419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03798935-2.03808522) × cos(-1.43990643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130516478924698 × 6371000     		do = 79.7178691106667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03798935-2.03808522) × cos(-1.43991894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130504075923273 × 6371000     		du = 79.7102935090847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43990643)-sin(-1.43991894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130516478924698-0.130504075923273)×R²
    abs(2.03808522-2.03798935)×1.24030014254373e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.24030014254373e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.24030014254373e-05×40589641000000     		ar = 6353.30873439119m²