Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54020 / 60676
↖ ↑ ↗
← S 82.121396°
E116.740723°		 ← 83.73 m → S 82.121396°
E116.746216°		 →
↑
83.71 m
↓
↑
83.71 m
↓
S 82.122149°
E116.740723°		 ← 83.72 m →
7 009 m²		 S 82.122149°
E116.746216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824287414550781 y=0.925849914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824287414550781 × 216)
    floor (0.824287414550781 × 65536)
    floor (54020.5)     		tx = 54020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.925849914550781 × 216)
    floor (0.925849914550781 × 65536)
    floor (60676.5)     		ty = 60676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54020 / 60676 ti = "16/54020/60676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54020/60676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54020 ÷ 216
    54020 ÷ 65536     		x = 0.82427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60676 ÷ 216
    60676 ÷ 65536     		y = 0.92584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82427978515625 × 2 - 1) × π
    0.6485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03750998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.8516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.67564598919305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03750998} λ = 2.03750998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67564598919305))-π/2
    2×atan(0.0688623297025765)-π/2
    2×0.0687537894969336-π/2
    0.137507578993867-1.57079632675     		φ = -1.43328875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03750998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.740723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43328875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.121396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54020 KachelY 60676 2.03750998 -1.43328875 116.740723 -82.121396
    Oben rechts KachelX + 1 54021 KachelY 60676 2.03760586 -1.43328875 116.746216 -82.121396
    Unten links KachelX 54020 KachelY + 1 60677 2.03750998 -1.43330189 116.740723 -82.122149
    Unten rechts KachelX + 1 54021 KachelY + 1 60677 2.03760586 -1.43330189 116.746216 -82.122149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43328875--1.43330189) × R
    1.31400000000781e-05 × 6371000     		dl = 83.7149400004975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43328875--1.43330189) × R
    1.31400000000781e-05 × 6371000     		dr = 83.7149400004975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03750998-2.03760586) × cos(-1.43328875) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.137074646439733 × 6371000     		do = 83.7322506485205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03750998-2.03760586) × cos(-1.43330189) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.13706163046003 × 6371000     		du = 83.7242998180555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43328875)-sin(-1.43330189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137074646439733-0.13706163046003)×R²
    abs(2.03760586-2.03750998)×1.30159797027407e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.30159797027407e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.30159797027407e-05×40589641000000     		ar = 7009.30753777885m²