Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54017 / 61183
↖ ↑ ↗
← S 82.494106°
E116.724243°		 ← 79.79 m → S 82.494106°
E116.729736°		 →
↑
79.83 m
↓
↑
79.83 m
↓
S 82.494824°
E116.724243°		 ← 79.78 m →
6 369 m²		 S 82.494824°
E116.729736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824241638183594 y=0.933586120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824241638183594 × 216)
    floor (0.824241638183594 × 65536)
    floor (54017.5)     		tx = 54017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933586120605469 × 216)
    floor (0.933586120605469 × 65536)
    floor (61183.5)     		ty = 61183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54017 / 61183 ti = "16/54017/61183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54017/61183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54017 ÷ 216
    54017 ÷ 65536     		x = 0.824234008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61183 ÷ 216
    61183 ÷ 65536     		y = 0.933578491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824234008789062 × 2 - 1) × π
    0.648468017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03722236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.933578491210938 × 2 - 1) × π
    -0.867156982421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.72425400540779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03722236} λ = 2.03722236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72425400540779))-π/2
    2×atan(0.0655951180738188)-π/2
    2×0.0655012810759798-π/2
    0.13100256215196-1.57079632675     		φ = -1.43979376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03722236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.724243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43979376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.494106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54017 KachelY 61183 2.03722236 -1.43979376 116.724243 -82.494106
    Oben rechts KachelX + 1 54018 KachelY 61183 2.03731823 -1.43979376 116.729736 -82.494106
    Unten links KachelX 54017 KachelY + 1 61184 2.03722236 -1.43980629 116.724243 -82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 54018 KachelY + 1 61184 2.03731823 -1.43980629 116.729736 -82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43979376--1.43980629) × R
    1.25300000000106e-05 × 6371000     		dl = 79.8286300000675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43979376--1.43980629) × R
    1.25300000000106e-05 × 6371000     		dr = 79.8286300000675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03722236-2.03731823) × cos(-1.43979376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130628184332645 × 6371000     		do = 79.7860974076834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03722236-2.03731823) × cos(-1.43980629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 79.7785098074029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43979376)-sin(-1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130628184332645-0.130615761686591)×R²
    abs(2.03731823-2.03722236)×1.24226460534171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.24226460534171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.24226460534171e-05×40589641000000     		ar = 6368.91199547131m²