Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54015 / 61185
↖ ↑ ↗
← S 82.495541°
E116.713257°		 ← 79.78 m → S 82.495541°
E116.718750°		 →
↑
79.76 m
↓
↑
79.76 m
↓
S 82.496258°
E116.713257°		 ← 79.77 m →
6 363 m²		 S 82.496258°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824211120605469 y=0.933616638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824211120605469 × 216)
    floor (0.824211120605469 × 65536)
    floor (54015.5)     		tx = 54015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933616638183594 × 216)
    floor (0.933616638183594 × 65536)
    floor (61185.5)     		ty = 61185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54015 / 61185 ti = "16/54015/61185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54015/61185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54015 ÷ 216
    54015 ÷ 65536     		x = 0.824203491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61185 ÷ 216
    61185 ÷ 65536     		y = 0.933609008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824203491210938 × 2 - 1) × π
    0.648406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03703061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.933609008789062 × 2 - 1) × π
    -0.867218017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.72444575300627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03703061} λ = 2.03703061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72444575300627))-π/2
    2×atan(0.0655825415732515)-π/2
    2×0.065488758446445-π/2
    0.13097751689289-1.57079632675     		φ = -1.43981881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03703061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.713257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43981881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.495541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54015 KachelY 61185 2.03703061 -1.43981881 116.713257 -82.495541
    Oben rechts KachelX + 1 54016 KachelY 61185 2.03712649 -1.43981881 116.718750 -82.495541
    Unten links KachelX 54015 KachelY + 1 61186 2.03703061 -1.43983133 116.713257 -82.496258
    Unten rechts KachelX + 1 54016 KachelY + 1 61186 2.03712649 -1.43983133 116.718750 -82.496258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43981881--1.43983133) × R
    1.25200000000714e-05 × 6371000     		dl = 79.7649200004547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43981881--1.43983133) × R
    1.25200000000714e-05 × 6371000     		dr = 79.7649200004547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03703061-2.03712649) × cos(-1.43981881) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.130603348934378 × 6371000     		do = 79.7792489894691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03703061-2.03712649) × cos(-1.43983133) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.130590936161693 × 6371000     		du = 79.7716666289033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43981881)-sin(-1.43983133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130603348934378-0.130590936161693)×R²
    abs(2.03712649-2.03703061)×1.24127726853773e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.24127726853773e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.24127726853773e-05×40589641000000     		ar = 6363.28301029665m²