Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5399 / 2808
↖ ↑ ↗
← N 49.152970°
E 57.260742°		 ← 3 195.97 m → N 49.152970°
E 57.304687°		 →
↑
3 196.90 m
↓
↑
3 196.90 m
↓
N 49.124219°
E 57.260742°		 ← 3 197.83 m →
10 220 176 m²		 N 49.124219°
E 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65911865234375 y=0.34283447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65911865234375 × 213)
    floor (0.65911865234375 × 8192)
    floor (5399.5)     		tx = 5399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34283447265625 × 213)
    floor (0.34283447265625 × 8192)
    floor (2808.5)     		ty = 2808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5399 / 2808 ti = "13/5399/2808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5399/2808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5399 ÷ 213
    5399 ÷ 8192     		x = 0.6590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2808 ÷ 213
    2808 ÷ 8192     		y = 0.3427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6590576171875 × 2 - 1) × π
    0.318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.99938848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99938848} λ = 0.99938848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987883627370117))-π/2
    2×atan(2.68554484018595)-π/2
    2×1.21433874220473-π/2
    2.42867748440947-1.57079632675     		φ = 0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99938848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5399 KachelY 2808 0.99938848 0.85788116 57.260742 49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 5400 KachelY 2808 1.00015547 0.85788116 57.304687 49.152970
    Unten links KachelX 5399 KachelY + 1 2809 0.99938848 0.85737937 57.260742 49.124219
    Unten rechts KachelX + 1 5400 KachelY + 1 2809 1.00015547 0.85737937 57.304687 49.124219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85788116-0.85737937) × R
    0.000501790000000057 × 6371000     		dl = 3196.90409000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85788116-0.85737937) × R
    0.000501790000000057 × 6371000     		dr = 3196.90409000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99938848-1.00015547) × cos(0.85788116) × R
    0.000766989999999912 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 3195.9706205342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99938848-1.00015547) × cos(0.85737937) × R
    0.000766989999999912 × 0.654421250474776 × 6371000     		du = 3197.82504927804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85788116)-sin(0.85737937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.654421250474776)×R²
    abs(1.00015547-0.99938848)×0.000379500929150178×R²
    0.000766989999999912×0.000379500929150178×6371000²
    0.000766989999999912×0.000379500929150178×40589641000000     		ar = 10220175.9781716m²