Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53952 / 61120
↖ ↑ ↗
← S 82.448764°
E116.367187°		 ← 80.27 m → S 82.448764°
E116.372681°		 →
↑
80.27 m
↓
↑
80.27 m
↓
S 82.449486°
E116.367187°		 ← 80.27 m →
6 444 m²		 S 82.449486°
E116.372681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823249816894531 y=0.932624816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823249816894531 × 216)
    floor (0.823249816894531 × 65536)
    floor (53952.5)     		tx = 53952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.932624816894531 × 216)
    floor (0.932624816894531 × 65536)
    floor (61120.5)     		ty = 61120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53952 / 61120 ti = "16/53952/61120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53952/61120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53952 ÷ 216
    53952 ÷ 65536     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61120 ÷ 216
    61120 ÷ 65536     		y = 0.9326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    -0.865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.71821395605566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71821395605566))-π/2
    2×atan(0.0659925147638955)-π/2
    2×0.0658969649143413-π/2
    0.131793929828683-1.57079632675     		φ = -1.43900240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43900240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.448764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53952 KachelY 61120 2.03099056 -1.43900240 116.367187 -82.448764
    Oben rechts KachelX + 1 53953 KachelY 61120 2.03108644 -1.43900240 116.372681 -82.448764
    Unten links KachelX 53952 KachelY + 1 61121 2.03099056 -1.43901500 116.367187 -82.449486
    Unten rechts KachelX + 1 53953 KachelY + 1 61121 2.03108644 -1.43901500 116.372681 -82.449486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43900240--1.43901500) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dl = 80.2746000001864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43900240--1.43901500) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dr = 80.2746000001864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03108644) × cos(-1.43900240) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.131412722523038 × 6371000     		do = 80.2736560443461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03108644) × cos(-1.43901500) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.13140023178303 × 6371000     		du = 80.266026057326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43900240)-sin(-1.43901500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131412722523038-0.13140023178303)×R²
    abs(2.03108644-2.03099056)×1.24907400077812e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.24907400077812e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.24907400077812e-05×40589641000000     		ar = 6443.62938249725m²