Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53864 / 61032
↖ ↑ ↗
← S 82.384973°
E115.883789°		 ← 80.94 m → S 82.384973°
E115.889282°		 →
↑
80.98 m
↓
↑
80.98 m
↓
S 82.385701°
E115.883789°		 ← 80.93 m →
6 554 m²		 S 82.385701°
E115.889282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821907043457031 y=0.931282043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821907043457031 × 216)
    floor (0.821907043457031 × 65536)
    floor (53864.5)     		tx = 53864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931282043457031 × 216)
    floor (0.931282043457031 × 65536)
    floor (61032.5)     		ty = 61032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53864 / 61032 ti = "16/53864/61032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53864/61032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53864 ÷ 216
    53864 ÷ 65536     		x = 0.8218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61032 ÷ 216
    61032 ÷ 65536     		y = 0.9312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8218994140625 × 2 - 1) × π
    0.643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02255367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.862548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70977706172253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02255367} λ = 2.02255367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70977706172253))-π/2
    2×atan(0.0665516419697056)-π/2
    2×0.0664536471639358-π/2
    0.132907294327872-1.57079632675     		φ = -1.43788903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02255367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43788903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.384973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53864 KachelY 61032 2.02255367 -1.43788903 115.883789 -82.384973
    Oben rechts KachelX + 1 53865 KachelY 61032 2.02264954 -1.43788903 115.889282 -82.384973
    Unten links KachelX 53864 KachelY + 1 61033 2.02255367 -1.43790174 115.883789 -82.385701
    Unten rechts KachelX + 1 53865 KachelY + 1 61033 2.02264954 -1.43790174 115.889282 -82.385701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43788903--1.43790174) × R
    1.27100000000269e-05 × 6371000     		dl = 80.9754100001712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43788903--1.43790174) × R
    1.27100000000269e-05 × 6371000     		dr = 80.9754100001712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02255367-2.02264954) × cos(-1.43788903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132516355416416 × 6371000     		do = 80.9393692133183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02255367-2.02264954) × cos(-1.43790174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132503757497506 × 6371000     		du = 80.9316745585205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43788903)-sin(-1.43790174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132516355416416-0.132503757497506)×R²
    abs(2.02264954-2.02255367)×1.2597918910201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2597918910201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2597918910201e-05×40589641000000     		ar = 6553.78706860856m²