Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53832 / 60999
↖ ↑ ↗
← S 82.360913°
E115.708008°		 ← 81.19 m → S 82.360913°
E115.713501°		 →
↑
81.23 m
↓
↑
81.23 m
↓
S 82.361644°
E115.708008°		 ← 81.19 m →
6 595 m²		 S 82.361644°
E115.713501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821418762207031 y=0.930778503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821418762207031 × 216)
    floor (0.821418762207031 × 65536)
    floor (53832.5)     		tx = 53832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930778503417969 × 216)
    floor (0.930778503417969 × 65536)
    floor (60999.5)     		ty = 60999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53832 / 60999 ti = "16/53832/60999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53832/60999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53832 ÷ 216
    53832 ÷ 65536     		x = 0.8214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60999 ÷ 216
    60999 ÷ 65536     		y = 0.930770874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8214111328125 × 2 - 1) × π
    0.642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01948571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930770874023438 × 2 - 1) × π
    -0.861541748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70661322634761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01948571} λ = 2.01948571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70661322634761))-π/2
    2×atan(0.0667625338465023)-π/2
    2×0.0666636061570213-π/2
    0.133327212314043-1.57079632675     		φ = -1.43746911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01948571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43746911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.360913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53832 KachelY 60999 2.01948571 -1.43746911 115.708008 -82.360913
    Oben rechts KachelX + 1 53833 KachelY 60999 2.01958158 -1.43746911 115.713501 -82.360913
    Unten links KachelX 53832 KachelY + 1 61000 2.01948571 -1.43748186 115.708008 -82.361644
    Unten rechts KachelX + 1 53833 KachelY + 1 61000 2.01958158 -1.43748186 115.713501 -82.361644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43746911--1.43748186) × R
    1.27499999997838e-05 × 6371000     		dl = 81.2302499986224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43746911--1.43748186) × R
    1.27499999997838e-05 × 6371000     		dr = 81.2302499986224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01948571-2.01958158) × cos(-1.43746911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132932560370122 × 6371000     		do = 81.1935821088553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01948571-2.01958158) × cos(-1.43748186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132919923514482 × 6371000     		du = 81.1858636719792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43746911)-sin(-1.43748186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132932560370122-0.132919923514482)×R²
    abs(2.01958158-2.01948571)×1.26368556399026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26368556399026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26368556399026e-05×40589641000000     		ar = 6595.06148789823m²