Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53826 / 60990
↖ ↑ ↗
← S 82.354338°
E115.675049°		 ← 81.27 m → S 82.354338°
E115.680542°		 →
↑
81.29 m
↓
↑
81.29 m
↓
S 82.355070°
E115.675049°		 ← 81.26 m →
6 607 m²		 S 82.355070°
E115.680542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821327209472656 y=0.930641174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821327209472656 × 216)
    floor (0.821327209472656 × 65536)
    floor (53826.5)     		tx = 53826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930641174316406 × 216)
    floor (0.930641174316406 × 65536)
    floor (60990.5)     		ty = 60990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53826 / 60990 ti = "16/53826/60990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53826/60990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53826 ÷ 216
    53826 ÷ 65536     		x = 0.821319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60990 ÷ 216
    60990 ÷ 65536     		y = 0.930633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821319580078125 × 2 - 1) × π
    0.64263916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01891046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.86126708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70575036215445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01891046} λ = 2.01891046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70575036215445))-π/2
    2×atan(0.0668201657070618)-π/2
    2×0.0667209820588245-π/2
    0.133441964117649-1.57079632675     		φ = -1.43735436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01891046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43735436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.354338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53826 KachelY 60990 2.01891046 -1.43735436 115.675049 -82.354338
    Oben rechts KachelX + 1 53827 KachelY 60990 2.01900634 -1.43735436 115.680542 -82.354338
    Unten links KachelX 53826 KachelY + 1 60991 2.01891046 -1.43736712 115.675049 -82.355070
    Unten rechts KachelX + 1 53827 KachelY + 1 60991 2.01900634 -1.43736712 115.680542 -82.355070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43735436--1.43736712) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dl = 81.2939599996498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43735436--1.43736712) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dr = 81.2939599996498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01891046-2.01900634) × cos(-1.43735436) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133046291098193 × 6371000     		do = 81.2715238257888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01891046-2.01900634) × cos(-1.43736712) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133033644526 × 6371000     		du = 81.263798648448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43735436)-sin(-1.43736712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133046291098193-0.133033644526)×R²
    abs(2.01900634-2.01891046)×1.26465721926872e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.26465721926872e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.26465721926872e-05×40589641000000     		ar = 6606.57000176568m²