Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53824 / 60993
↖ ↑ ↗
← S 82.356531°
E115.664063°		 ← 81.24 m → S 82.356531°
E115.669556°		 →
↑
81.29 m
↓
↑
81.29 m
↓
S 82.357262°
E115.664063°		 ← 81.23 m →
6 604 m²		 S 82.357262°
E115.669556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821296691894531 y=0.930686950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821296691894531 × 216)
    floor (0.821296691894531 × 65536)
    floor (53824.5)     		tx = 53824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930686950683594 × 216)
    floor (0.930686950683594 × 65536)
    floor (60993.5)     		ty = 60993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53824 / 60993 ti = "16/53824/60993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53824/60993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53824 ÷ 216
    53824 ÷ 65536     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60993 ÷ 216
    60993 ÷ 65536     		y = 0.930679321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930679321289062 × 2 - 1) × π
    -0.861358642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70603798355217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70603798355217))-π/2
    2×atan(0.0668009495612251)-π/2
    2×0.0667018513059849-π/2
    0.13340370261197-1.57079632675     		φ = -1.43739262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43739262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.356531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53824 KachelY 60993 2.01871872 -1.43739262 115.664063 -82.356531
    Oben rechts KachelX + 1 53825 KachelY 60993 2.01881459 -1.43739262 115.669556 -82.356531
    Unten links KachelX 53824 KachelY + 1 60994 2.01871872 -1.43740538 115.664063 -82.357262
    Unten rechts KachelX + 1 53825 KachelY + 1 60994 2.01881459 -1.43740538 115.669556 -82.357262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43739262--1.43740538) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dl = 81.2939599996498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43739262--1.43740538) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dr = 81.2939599996498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.01881459) × cos(-1.43739262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133008371138935 × 6371000     		do = 81.2398863992805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.01881459) × cos(-1.43740538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132995724501801 × 6371000     		du = 81.2321619879879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43739262)-sin(-1.43740538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133008371138935-0.132995724501801)×R²
    abs(2.01881459-2.01871872)×1.26466371332123e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26466371332123e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26466371332123e-05×40589641000000     		ar = 6603.99810133698m²