Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53792 / 61024
↖ ↑ ↗
← S 82.379148°
E115.488282°		 ← 81 m → S 82.379148°
E115.493774°		 →
↑
80.98 m
↓
↑
80.98 m
↓
S 82.379876°
E115.488282°		 ← 80.99 m →
6 559 m²		 S 82.379876°
E115.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820808410644531 y=0.931159973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820808410644531 × 216)
    floor (0.820808410644531 × 65536)
    floor (53792.5)     		tx = 53792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931159973144531 × 216)
    floor (0.931159973144531 × 65536)
    floor (61024.5)     		ty = 61024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53792 / 61024 ti = "16/53792/61024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53792/61024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53792 ÷ 216
    53792 ÷ 65536     		x = 0.82080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61024 ÷ 216
    61024 ÷ 65536     		y = 0.93115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82080078125 × 2 - 1) × π
    0.6416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01565076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93115234375 × 2 - 1) × π
    -0.8623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70901007132861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01565076} λ = 2.01565076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70901007132861))-π/2
    2×atan(0.0666027060201108)-π/2
    2×0.0665044858707405-π/2
    0.133008971741481-1.57079632675     		φ = -1.43778736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01565076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.488282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43778736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.379148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53792 KachelY 61024 2.01565076 -1.43778736 115.488282 -82.379148
    Oben rechts KachelX + 1 53793 KachelY 61024 2.01574663 -1.43778736 115.493774 -82.379148
    Unten links KachelX 53792 KachelY + 1 61025 2.01565076 -1.43780007 115.488282 -82.379876
    Unten rechts KachelX + 1 53793 KachelY + 1 61025 2.01574663 -1.43780007 115.493774 -82.379876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43778736--1.43780007) × R
    1.27100000000269e-05 × 6371000     		dl = 80.9754100001712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43778736--1.43780007) × R
    1.27100000000269e-05 × 6371000     		dr = 80.9754100001712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01565076-2.01574663) × cos(-1.43778736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132617128085192 × 6371000     		do = 81.0009199269573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01565076-2.01574663) × cos(-1.43780007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13260453033758 × 6371000     		du = 80.9932253767862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43778736)-sin(-1.43780007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132617128085192-0.13260453033758)×R²
    abs(2.01574663-2.01565076)×1.25977476121697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.25977476121697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.25977476121697e-05×40589641000000     		ar = 6558.77116697026m²